f( f^-1 (A´)) = A´ geschnitten Imf

30.10.2011, 21:45

erstiMathe

f( f^-1 (A´)) = A´ geschnitten Imf

Meine Frage:
Hallo!

Ich befinde mich gerade im ersten Semester und höre die Vorlesung Analysis I. So. Nun haben wir das 2. Übugnsblatt bekommen und eine Aufgabe davon lautet:

F Abbildung von X->Y, A c X und A´c Y

f(f^-1 (A´)) = A´ geschnitten Imf

Diese Aussage sollen wir beweisen, und ich komme gerade einfach nicht weiter.

Meine Ideen:
Meine, wahrscheinlich total falschen, Ansätze.

da AcX und A´cY gilt: X nicht C Y

Nun überlege ich schon ewig hin und her, habe anstatt A und A´ x und y genommen, dann kam bei mir f(f^-1 (y))(x) = f(y) geschintten f(x)

Hilfe....
Ansonsten habe ich eigentlich fast alles beweisen können.
Bei einer Aufgabe jedoch müssen wir entscheiden, ob injektiv,surj. oder bije.
f(x) = x+|x| ich bin der Meinung, dass die Abb sowohl injektiv als surjektiv, also bijektiv ist. Denn: Auf jedes x wird genau einmal abgebildet ( zb x={1,2,3,4} dann ist |x| = 4, oder sehe ich das falsch?

Wäre echt toll, wenn mir hier irgendjemand auf die Sprünge helfen würde.

LG

30.10.2011, 21:59

KA123

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f(x)=x+|x| ist schonmal nicht injektiv, da f(0)=f(-1), aber $\begin{eqnarray*} 0 \neq -1 \end{eqnarray*}$
und surjetiv ist es auch nicht, da f(a)=0 für $\begin{eqnarray*} a \le 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a)=2a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \ge 0 \end{eqnarray*}$
Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass f als Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, was du ja nicht dazugeschrieben hast.

30.10.2011, 22:17

erstiMathe

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Super, vielen Dank.
Wenn es dann jemand hinschreibt, sieht das alles so logisch aus :-/

Zu dem anderen kannst du mir keinen Tipp geben??

LG

30.10.2011, 22:24

Zündholz

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RE: f( f^-1 (A´)) = A´ geschnitten Imf

Zitat:

Original von erstiMathe
f(f^-1 (A´)) = A´ geschnitten Imf

Hallo,
leider ist mir Imf kein Begriff. Vielleicht könntest du da nochwas zu sagen.
Allerdings was ich schonmal sagen kann ist, dass du aufpassen musst mit deinem Beispiel mit x und y. Denn eigentlich meinst du {x} und {y}.

30.10.2011, 22:32

erstiMathe

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Hallo,

Im f heißt Image f, Also Bild von f

LG

30.10.2011, 22:36

KA123

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Zitat:

Original von erstiMathe
Super, vielen Dank.
Wenn es dann jemand hinschreibt, sieht das alles so logisch aus :-/

Zu dem anderen kannst du mir keinen Tipp geben??

LG

Also was du zeigen sollst ist eine Mengengleichheit. Das macht man fast ausschließlich, indem man beide Inklusionen zeigt, d.h. es gilt für Mengen A,B: $\begin{eqnarray*} A=B \Leftrightarrow A \subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$
Dazu nimmst du ein Element aus A und zeigst, dass es in B liegt, daraus folgt dann A ist eine Teilmenge von B. Anschließend nimmst du ein Element aus B und zeigst, dass es in A liegt. Daraus folgt, dann wiederum, dass B eine Teilmenge von A ist und insgesamt damit A=B.
Dein Ansatz, Mengen durch einzelne Elemente x und y zu ersetzen, macht leider so keinen Sinn.

Ich mach mal den Anfang für deine Aufgabe und du versuchst das dann einfach fortzusetzen:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in f(f^{-1}(A') =:X \end{eqnarray*}$ . Jetzt verwendest du die Definition davon: $\begin{eqnarray*} x \in X \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ (in Worten) x ist im Bild vom Urbild von A'.
Genauso schreibst du dir die Definition der rechten Seite hin. Sei $\begin{eqnarray*} Y := A' \cap im(f) \end{eqnarray*}$
Dann gilt $\begin{eqnarray*} y \in Y \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ y ist in A' und im Bild von f.
Jetzt versuchst du wie gesagt zu zeigen, dass ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ auch in Y liegt und gehst dabei streng nach den Defintionen von Bild, Urbild, Schnitt von zwei Mengen usw.
Versuchs mal so und stell einfach weiter Fragen, wenn was unklar ist!

30.10.2011, 22:48

erstiMathe

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Oh man, ich habe die totale Blockade.
Also ich solll nun zeigen, dass x Element A´ geschnitten Im (f) ist

Ich komm einfach nicht drauf....

30.10.2011, 23:03

KA123

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Ja genau du sollst zeigen, dass wenn

$\begin{eqnarray*} x \in f(f^{-1}(A') =:X \end{eqnarray*}$ gilt, dass dann folgt $\begin{eqnarray*} x \in Y := A' \cap im(f) \end{eqnarray*}$

Das ist keine Blockade^^. Diese Mengengleichheiten zu zeigen, das fällt so gut wie jedem Studenten am Anfang schwer. Man muss sich da erstmal an die Denkweise der höheren Mathematik gewöhnen.
Da hilft es nur sich streng an die Definitionen zu halten und in der Vorlesung genau nachzuvollziehen, wie der Prof Beweise angeht und durchführt. Das kann lernt man nicht auf einen Schlag, das kommt mit der Zeit einfach...

30.10.2011, 23:10

erstiMathe

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Könntest du mir das vllt vorrechnen?
Ich habe hier noch mehr solcher tollen "Mengengleichheiten" die ich beweisen soll und wäre froh, wenn ich wenigstens eine richtig hätte, an der ich mich orientieren könnte.

LG

30.10.2011, 23:57

KA123

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Also ich mach mal eine Richtung für dich:
(Meine Bezeichung X und Y für die Mengen war natürlich unglück also sei besser
$\begin{eqnarray*} C:= x \in f(f^{-1}(A') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D := A' \cap im(f) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} C \subseteq D \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} C \subseteq A' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \subseteq im(f) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A') \end{eqnarray*}$ das Urbild einer Teilmenge von Y ist, und f von X nach Y abbildet, gilt automatisch, dass das Urbild von A' in X liegt. D.h. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A') \subseteq X \end{eqnarray*}$ . Da nun aber $\begin{eqnarray*} f(X) = im(f) \end{eqnarray*}$ gilt auch auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(A') \subseteq im(f) \end{eqnarray*}$
Bleibt zu zeigen $\begin{eqnarray*} C \subseteq A' \end{eqnarray*}$ .
Es gilt nach Definition $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A')=\{ x \in X : f(x) \in A' \} \end{eqnarray*}$ Dann folgt aber direkt $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(A'))=f( \{x \in X : f(x) \in A' \} ) \subseteq A' \end{eqnarray*}$
Also gilt $\begin{eqnarray*} C \subseteq A' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \subseteq im(f) \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} C \subseteq D \end{eqnarray*}$

So, hab das extra sehr ausführlich gemacht, damit dus nachvollziehen kannst. Ich hoffe das hilft dir etwas weiter.

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