Induktionsaufgabe Summe

31.10.2011, 12:16

HansimGlück

Induktionsaufgabe Summe

Durchgerechnetes Beispiel:
http://imageshack.us/photo/my-images/715/bild1icv.png/

Beim Induktionsschritt werden die Klammern ausmultipliziert (Zeile 2), danach wird der Ausdruck im Zähler zu $\begin{eqnarray*} (n+1)*(3n^2+11n+8) \end{eqnarray*}$ umgeformt, es wird gekürzt und erneut wird der übrig gebliebene Term in Klammern umgeformt.

Mir stellt sich die Frage, wie ich auf diese "Klammerumformungen" komme.
Woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} 3n^3+14n^2+19n+8 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (n+1)*(3n^2+11n+8) \end{eqnarray*}$ bzw, wie komme ich auf diese Umformungen?

Gibt es irgendwelche Tricks?

Danke!

31.10.2011, 12:34

Mulder

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RE: Induktionsaufgabe Summe

Zitat:

Original von HansimGlück
Woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} 3n^3+14n^2+19n+8 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (n+1)*(3n^2+11n+8) \end{eqnarray*}$ bzw, wie komme ich auf diese Umformungen?

Der zugänglichste Weg ist wohl Polynomdivision. Man fasst 3n^3+14n^2+19n+8 als Polynom auf und sucht eine Nullstelle (in diesem Fall passt -1) und kann dann durch (n+1) dividieren.

Oder man hat ein sehr gutes Auge:

$\begin{eqnarray*} 3n^3+14n^2+19n+8 = 3n^3+11n^2+8n +3n^2+11n+8 = n(3n^2+11n+8) + 3n^2+11n+8 = \, ... \end{eqnarray*}$

Aber das kann man nicht unbedingt verlangen, dass man sowas erkennt. Augenzwinkern

31.10.2011, 12:44

HansimGlück

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Polynomdivions, natürlich!

Danke dir!

31.10.2011, 13:58

HansimGlück

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So, ich hänge leider bei einem Beispiel ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)*(2k+3)}= \frac{n*(4n+5)}{3*(2n+3)*(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Schritt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k-1)*(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)*(2k+3)}+\frac{1}{(2n+1)*(2n+5)}<br /> =\frac{n*(4n+5)}{3*(2n+3)*(2n+1)}+\frac{1}{(2n+1)*(2n+5)}<br /> =\frac{n*(4n+5)*(2n+5)+3*(2n+3)}{3*(2n+1)*(2n+3)*(2n+5)}<br /> =\frac{n*(4n+5)+3*(2n+3)}{3*(2n+1)*(2n+3)} \end{eqnarray*}$

Hier bleib ich nun leider hängen. Multipliziere ich aus, kommt bei mir 4n^2+11n+9 raus, es sollte aber 4n^2+13n+9 rauskommen.

Den Rechengang habe ich mehrmals kontrolliet, einen Rechenfehler schließe ich daher aus.

Kann mir jmd. weiterhelfen?

31.10.2011, 14:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} =\frac{n*(4n+5)*(2n+5)+3*(2n+3)}{3*(2n+1)*(2n+3)*(2n+5)}<br /> =\frac{n*(4n+5)+3*(2n+3)}{3*(2n+1)*(2n+3)} \end{eqnarray*}$

[...]

Den Rechengang habe ich mehrmals kontrolliet, einen Rechenfehler schließe ich daher aus.

Ich nicht: Wie kannst du denn den Faktor $\begin{eqnarray*} (2n+5) \end{eqnarray*}$ kürzen, wo der doch im zweiten Summanden des Zählers, also $\begin{eqnarray*} 3*(2n+3) \end{eqnarray*}$ gar nicht vorkommt? unglücklich

P.S.: Um das Ziel zu erreichen, muss übrigens $\begin{eqnarray*} (2n+1) \end{eqnarray*}$ (statt (2n+5)) gekürzt werden!!!

31.10.2011, 14:08

HansimGlück

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Eine weitere, dieses Beispiel betreffende Fragestellung:
Gegen welchen Wert konvergiert die Folge: $\begin{eqnarray*} \frac{n*(4n+5)}{3*(2n+3)*(2n+1)} \end{eqnarray*}$ ?
Welchen Wert hat die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)*(2k+3)} \end{eqnarray*}$ ?

Die Folge konvergiert gegen 1/3 und dementsprechend ist der Wert der Reihe ebenfalls 1/3?
Stimmt das so?

In meinem Skriptum steht nämlich:
Der Limes der Partialsummenfolge einer Reihe, ist der Wert dieser Reihe. (meine Interpretation)

31.10.2011, 14:27

HansimGlück

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Danke, Hal 9000. Keine Ahnung, was mich da geritten hat und wieso ich so gekürzt habe.

Stimmt natürlich auch, dass (2n+1) gekürz werden muss. Ich hab irrtürmlich auf den Anfang geschaut und nicht auf die Induktionsbehauptung und habe deswegen (2n+5) gekürzt... unglücklich

31.10.2011, 14:41

HansimGlück

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Ich habs!

Fehler war, dass ich mich beim Schritt versehentlich auf den Anfang und nicht auf Behauptung kommen wollte ...

Wäre spitze, wenn mir jetzt noch jmd. meine Überlegung zum Wert der Reihe bestätigen könnte. Danke Augenzwinkern

31.10.2011, 14:44

HAL 9000

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Ja, der Reihenwert ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Freude

Die Aufgabe wird übrigens übersichtlicher, wenn man das ganze als Teleskopsumme

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+3} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left( \underbrace{\left( \frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k+1} \right)}_{=:a_k} - \underbrace{\left( \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+3} \right)}_{=:a_{k+1}} \right) \end{eqnarray*}$

auffasst, dann kommt nämlich einfach

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+3)} = \frac{1}{4}\left( a_1-a_{n+1} \right) = \frac{1}{4}\left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right) \end{eqnarray*}$

heraus, und Reihenwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist auch direkt ablesbar.

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