Beweis einer Ungleichung durch Induktion

31.10.2011, 13:40

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis einer Ungleichung durch Induktion

Hallo liebe Leut,
ich steh auf dem Schlauch. Und zwar soll ich eine Ungleichung mittels Induktion beweisen. Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \forall n\geq 2 \Rightarrow n! < n^n,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Mein Plan bis jetzt:

Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} \mbox{für } n=2 : 2! < 2^2 = 2 < 4 \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1\\<br /> (n+1)! < (n+1)^(n+1) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich aber keinen Schimmer, wie ich zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} (n+1)^(n+1) \end{eqnarray*}$ immer größer als die Fakultät ist...

31.10.2011, 13:47

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis einer Ungleichung durch Induktion
Zunaechst ein boeser formaler Fehler: du schreibst, dass $\begin{eqnarray*} 2!<2^2=2<4 \end{eqnarray*}$ ist. So, wie es da steht ist dann also $\begin{eqnarray*} 2^2=2 \end{eqnarray*}$ . Du meinst aber $\begin{eqnarray*} 2!<2^2\iff 2<4 \end{eqnarray*}$

Und bei der Induktion willst du das ganze immer auf den vorigen Fall zurueckfuehren. Wie kannst du also $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ ausdruecken? Wie kannst du $\begin{eqnarray*} (n+1)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ ausdruecken?

31.10.2011, 14:37

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für die schnelle Antwort. Stimmt, das wollte ich so nicht ausdrücken.

Zu den Entsprechungen:
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = n!*(n+1) < (n+1)^(n+1) = 2*n^n \end{eqnarray*}$
Also Hab ich:
$\begin{eqnarray*} n!*(n+1) < 2*n^n \end{eqnarray*}$
Jetzt häng ich wieder..

31.10.2011, 14:39

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist: $\begin{eqnarray*} (n+1)^{(n+1)}\neq 2\cdot n^n \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 15:05

KA123

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = n!(n+1) \end{eqnarray*}$

an dieser Stelle solltest du die Induktionsvoraussetzung einsetzen.
Dann musst du dir noch überlegen, wie du $\begin{eqnarray*} (n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ anders ausdrücken kannst. Den binomischen Lehrsatz hattet ihr ja bestimmt schon.

31.10.2011, 15:13

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja.
Also $\begin{eqnarray*} (n+1)^{(n+1)}=(n+1)*(n+1)^n \end{eqnarray*}$
Dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} n!*(n+1) < (n+1)*(n+1)^n \Rightarrow n! < (n+1)^n \end{eqnarray*}$

Anzeige

31.10.2011, 15:16

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt musst du nur doch $\begin{eqnarray*} (n+1)^n \end{eqnarray*}$ so umformen, dass $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ vorkommt.

31.10.2011, 15:48

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich kann:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^n=n^n+1+\sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} n^{n-k} \end{eqnarray*}$
Also steht da jetzt:
$\begin{eqnarray*} n!<n^n+1+\sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} n^{n-k} \end{eqnarray*}$
Und da:
$\begin{eqnarray*} n^n<n^n+1+\sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} n^{n-k} \end{eqnarray*}$
kann ich jetzt mein:
$\begin{eqnarray*} n!<n^n \end{eqnarray*}$
So stehen lassen?

31.10.2011, 15:51

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. Du willst also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} n!<n^n+1+\text{summe} \end{eqnarray*}$ ist. Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} n!<n^n \end{eqnarray*}$ ist. Also bleibt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 0<1+\text{summe} \end{eqnarray*}$ ist. Warum ist das wohl so?

31.10.2011, 16:06

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich mir schon fast gedacht. Ich habe ja
$\begin{eqnarray*} n\geq 2 \Rightarrow n^n > 0 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} n^{n-k} > 0 \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 16:20

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau!

31.10.2011, 16:40

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir noch einen 2. Weg überlegt, kann ich:
$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \mbox{ Zu zeigen: } (n+1)! < (n+1)^{(n+1)}\\ (n+1)! = n!*(n+1)\\ < (n+1)(n+1)^{(n+1)} = (n+1)^2*n^n\\ \Rightarrow (n+1)*n! < (n+1)^2*n^n\\ \Rightarrow n! < (n+1)*n^n,n+1\geq 3 \end{eqnarray*}$

Und 1000 Dank für die Tipps+Geduld

31.10.2011, 16:43

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind jetzt einige Rechenfehler drin.

31.10.2011, 16:53

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh oh, noch ein Versuch:
$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \mbox{ Zu zeigen: } (n+1)! < (n+1)^{(n+1)}\\ (n+1)! = n!*(n+1) < (n+1)(n+1)^{(n+1)} = (n+1)^2*(n+1)^n\\ \Rightarrow (n+1)*n! < (n+1)^2*(n+1)^n\\ \Rightarrow n! < (n+1)*(n+1)^n,n+1\geq 3 \end{eqnarray*}$
Wo ich wieder bei der Umformung in ein Polynom wäre. Gibt es eine Lösung ohne der Umformung?

31.10.2011, 16:58

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf das $\begin{eqnarray*} (n+1)(n+1)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$ ?

Und ich denke nicht, dass es eine leicht ersichtliche Loesung ohne dieses Polynom gibt.

31.10.2011, 20:48

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gitterrost4
Und ich denke nicht, dass es eine leicht ersichtliche Loesung ohne dieses Polynom gibt.

Es ist $\begin{eqnarray*} (n+1)!=n!*(n+1)\stackrel{IV}{<}n^n(n+1)=(n+1)^{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n<(n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$
Wodurch der Induktionsschritt einfach durchgeht.

31.10.2011, 20:49

gitterrost4

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Das habe auch ich nicht gesehen... Ziemlich elegant.

01.11.2011, 18:54

euklidis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie kommst du auf das $\begin{eqnarray*} (n+1)(n+1)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$ ?

Das dachte ich kommt aus der Induktionsvoraussetzung. Ich weiß aber jetzt, das es falsch war. ;-)

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} (n+1)!=n!*(n+1)\stackrel{IV}{<}n^n(n+1)=(n+1)^{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n<(n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ Wodurch der Induktionsschritt einfach durchgeht.

Cool. Und wie komme ich jetzt auf $\begin{eqnarray*} n^n*(n+1) = (n+1)^{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \end{eqnarray*}$ Ich müsste jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist oder?

Zitat:

Wodurch der Induktionsschritt einfach durchgeht.

Einfach "durchgeht" bedeutet?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »