Abelsche Gruppen |
31.10.2011, 15:19 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abelsche Gruppen Ich weiß bei folgender Aufgabe zu abelschen Gruppen nicht weiter: G:= ((a,b) Element von Q x Q: a hoch 2 + b hoch 2 = 1) deffiniert ist die Verknüpfung (a,b)*(c,d):= (ac-bd, ad+bc) Nun soll ich zeigen, dass (G,*) eine abelsche Gruppe ist. Meine Ideen: Leider war ich krank als abelsche Gruppen in der Vorlesung behandelt wurden. Jetzt habe ich nur das Skrip. Und verstehe bis jetzt nur das ich folgende Axiome beweisen muss: 1. Die Verknüpfung ist assoziativ 2. es gibt ein neutrales Element 3. es existiert ein inverses Element 4. Das Kommutativgesetz gilt. Ich verstehe hierbei nicht so richtig wie ich am Besten anfange und was mir die Verknüfung sagt. Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiterhelfen kann. Dafür schon mal vielen Dank im Vorraus |
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31.10.2011, 15:20 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Fangen wir mal mit (1) an. Was heisst denn assoziativ. und wie wuerde das bei dieser verknuepfung hier aussehen? |
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31.10.2011, 16:05 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen assoziativ bedeuet, dass ich die Klammern weglassen kann. Sind damit die Klammern von (a,b)*(c,d) gemeint? Aber ich verstehe nicht wo bei der Verknüpfung die Rechenoperatoren + und - herkommen. Ich dachte das wäre eine * Verknüfung. |
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31.10.2011, 16:22 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Die Verknuepfung ist einfach so definiert. Assoziativ bedeutet, dass (a*b)*c=a*(b*c) ist. In diesem Fall also ((a,b)*(c,d))*(e,f)=(a,b)*((c,d)*(e,f)). Nun noch die Definition der Verknuepfung einsetzen und nachrechnen. |
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31.10.2011, 16:29 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Jetzt bin ich irgendwie sehr verwirrt. Wo kommt denn e und f her und bedeutet * jetzt + oder - und woher weiß ich wann ich was nehme? Und muss ich das a hoch 2 + b hoch 2= 1 aus G noch berüchsichtigen? Was bedeutet das überhaupt? |
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31.10.2011, 16:38 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Ok. Ich habe vielleicht zu haeufig die gleichen Buchstaben fuer verschiedene Sachen verwendet. Bleiben wir zunaechst bei der Assoziativitaet. Hierfuer brauchen wir drei beliebige Elemente aus G. Die Elemente in G sind Paare von Zahlen. Seien also x,y,z unsere drei Beliebigen Elemente. Da es Zahlenpaare sind, koennen wir auch schreiben . Jetzt nehmen wir unsere Verknuepfung her. Jetzt ist doch (Denk dran, dass nicht die normale Multiplikation zweier Zahlen sein soll. Diese habe ich hier als bezeichnet.) Wie sieht jetzt aus? Wie sieht aus? |
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31.10.2011, 17:21 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Das war echt super erklärt. Jetzt hab ich zum ersten mal verstanden wie das mit dem * gemeint ist:-) danke Also ich hab für (x*y)*z = (x1y1z1-x2y2z1)-(x1y2z2+x2y1z2), (x1y1z2-x2y2z2)+(x1y2z1+x2y1z1) und für x*(y*z) = (y1z1x1-y1z2x1)-(y1z2x2+y2z1x2), (y1z1x2-y1z2x2)+(y1z2x1+y2z1x1) |
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31.10.2011, 17:25 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen
Das rote ist falsch (sicher nur ein Schreibfehler). Sind denn die beiden Sachen gleich? Wenn ja, dann hast du die Assoziativitaet nachgewiesen. |
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31.10.2011, 17:43 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Oh richtig da kommt y2 hin. Aber ich finde trotzdem noch nicht das sie gleich sind. Oder muss man an dieser Stelle noch etwas umformen? |
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31.10.2011, 17:46 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen
Hier ist auch noch ein Rechenfehler. Dann nur die Summanden umsortieren und es wird gleich. |
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31.10.2011, 17:56 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Ja der hatte sich aus dem Fehler davor ergeben den hatte ich schon mit verbessert. (Versuche schon seit heute Mittag um 12 die Aufgaben zu lösen irgendwie ist jetzt die Luft raus.) Aber wenn die Assoziativität jetzt bewiesen ist ist ja schon mal super:-) Ich versuch mich dann mal zu morgen an dem neutralen Element. Schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Wünsch dir noch einen schönen Abend. |
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31.10.2011, 17:58 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Bei deinen Eigenschaften oben fehlt noch eine ganz wichtige: Die Abgeschlossenheit. Du musst noch zeigen, dass fuer auch ist. Dafuer brauchst du dann die Eigenschaft |
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02.11.2011, 17:10 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Okay, dafür hab ich jetzt raus (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 =a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2 =a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2 aber das ist doch nicht gleich 1 oder? könnte es sein, dass (G,*) gar keine Gruppe ist? |
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02.11.2011, 17:37 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Klammer hier mal geschickt aus. Was faellt dir auf? |
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02.11.2011, 17:59 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Oh ja a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2) wäre dann a^2+b^2 ? |
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02.11.2011, 18:01 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen
Das hab ich jetzt nicht verstanden. Du kannst uebrigens nochmal ausklammern. |
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02.11.2011, 18:20 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Ja ich dachte ich könnte duch c^2+d^2 teilen. kann man machen (c^2+d^2)(a^2+b^2)? Aber wie würde man dann weitermachen? Es soll doch 1 rauskommen, oder? |
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02.11.2011, 18:22 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Du weisst doch, dass (a,b) und (c,d) aus G sind. Was haben denn alle Elemente aus G fuer eine Eigenschaft? Was ist denn ? Ich muss jetzt weg. Wenn sich jemand findet, kann er gern hier uebernehmen. |
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02.11.2011, 18:27 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Ja a^2+b^2 ist gleich 1 kann man dann sagen dass (c^2+d^2)(a^2+b^2) eins ist? (danke für die Hilfe) |
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02.11.2011, 18:28 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Ok noch kurz: Na jetzt hast dus doch: Damit hast du die Abgeschlossenheit. Nun noch die anderen Eigenschaften. |
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02.11.2011, 18:44 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Also Kommutativität hab ich glaube ich hinbekommen weil wenn man in (c,d)*(a,b) einsetzt erhällt man das selbe wie bei (a,b)*(c,d) Nur als neutrales Element kenne ich bis jetzt nur die 1 bei der Multiplikation und die 0 bei der Addition demnach müsste es die 0 sein aber da bin ich mir total unsicher Und das inverse Element ist doch irgendwas mit anderem Vorzeichen (z.B a+(-a)=0) da versteh ich noch weniger |
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02.11.2011, 18:58 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Zum neutralen Element: Du suchst ein Paar (e,f) so, dass (a,b)*(e,f)=(a,b) ist für alle Paare (a,b) Hier schreibst du wieder die Formeln aus und bekommst ein Gleichungssystem |
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02.11.2011, 19:07 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Okay dann hab ich ja irgendwann da stehen (e^2+f^2)(a^2+b^2)=(a,b) aber wie geh ich dann mir (a,b) um ? |
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02.11.2011, 20:39 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Kann mir noch irgendwer weiterhelfen? Komm einfach nicht weiter |
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03.11.2011, 00:39 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Wie kommst du auf das ? Das kann gar nicht sein, denn links steht eine Zahl und rechts ein Paar. |
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03.11.2011, 19:23 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Ja, genau das hatte mich auch verwirrt. Naja jetzt ists eh egal musste heute abgeben. Ich wollte mich aber auf jeden Fall nochmal ganz doll für deine Hilfe bedanken. Hat mir echt super geholfen. |
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03.11.2011, 19:24 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Du koenntest ja trotzdem noch versuchen, es herauszubekommen. Dabei kannst du immer was lernen. |
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03.11.2011, 19:31 | Ginnyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abelsche Gruppen Ja das stimmt werd ich auch sicherlich tun aber im Moment muss ich mich erst mal auf das neue Aufgabenblatt konzentrieren. Die nächste Kriese kommt bestimmt:-) |
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