Abelsche Gruppen

Neue Frage »

Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche Gruppen
Meine Frage:
Ich weiß bei folgender Aufgabe zu abelschen Gruppen nicht weiter:

G:= ((a,b) Element von Q x Q: a hoch 2 + b hoch 2 = 1)

deffiniert ist die Verknüpfung (a,b)*(c,d):= (ac-bd, ad+bc)

Nun soll ich zeigen, dass (G,*) eine abelsche Gruppe ist.



Meine Ideen:
Leider war ich krank als abelsche Gruppen in der Vorlesung behandelt wurden. Jetzt habe ich nur das Skrip.
Und verstehe bis jetzt nur das ich folgende Axiome beweisen muss:

1. Die Verknüpfung ist assoziativ
2. es gibt ein neutrales Element
3. es existiert ein inverses Element
4. Das Kommutativgesetz gilt.

Ich verstehe hierbei nicht so richtig wie ich am Besten anfange und was mir die Verknüfung sagt.

Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiterhelfen kann. Dafür schon mal vielen Dank im Vorraus
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Fangen wir mal mit (1) an. Was heisst denn assoziativ. und wie wuerde das bei dieser verknuepfung hier aussehen?
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
assoziativ bedeuet, dass ich die Klammern weglassen kann.

Sind damit die Klammern von (a,b)*(c,d) gemeint?

Aber ich verstehe nicht wo bei der Verknüpfung die Rechenoperatoren + und - herkommen. Ich dachte das wäre eine * Verknüfung.
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Die Verknuepfung ist einfach so definiert.

Assoziativ bedeutet, dass (a*b)*c=a*(b*c) ist.

In diesem Fall also ((a,b)*(c,d))*(e,f)=(a,b)*((c,d)*(e,f)). Nun noch die Definition der Verknuepfung einsetzen und nachrechnen.
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Jetzt bin ich irgendwie sehr verwirrt. Wo kommt denn e und f her und bedeutet * jetzt + oder - und woher weiß ich wann ich was nehme?

Und muss ich das a hoch 2 + b hoch 2= 1 aus G noch berüchsichtigen? Was bedeutet das überhaupt?
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Ok. Ich habe vielleicht zu haeufig die gleichen Buchstaben fuer verschiedene Sachen verwendet.

Bleiben wir zunaechst bei der Assoziativitaet. Hierfuer brauchen wir drei beliebige Elemente aus G. Die Elemente in G sind Paare von Zahlen.

Seien also x,y,z unsere drei Beliebigen Elemente. Da es Zahlenpaare sind, koennen wir auch schreiben .

Jetzt nehmen wir unsere Verknuepfung her. Jetzt ist doch

(Denk dran, dass nicht die normale Multiplikation zweier Zahlen sein soll. Diese habe ich hier als bezeichnet.)

Wie sieht jetzt aus? Wie sieht aus?
 
 
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Das war echt super erklärt. Jetzt hab ich zum ersten mal verstanden wie das mit dem * gemeint ist:-) danke

Also ich hab für (x*y)*z = (x1y1z1-x2y2z1)-(x1y2z2+x2y1z2), (x1y1z2-x2y2z2)+(x1y2z1+x2y1z1)

und für x*(y*z) = (y1z1x1-y1z2x1)-(y1z2x2+y2z1x2), (y1z1x2-y1z2x2)+(y1z2x1+y2z1x1)
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Zitat:
Original von Ginnyy
Das war echt super erklärt. Jetzt hab ich zum ersten mal verstanden wie das mit dem * gemeint ist:-) danke

Also ich hab für (x*y)*z = (x1y1z1-x2y2z1)-(x1y2z2+x2y1z2), (x1y1z2-x2y2z2)+(x1y2z1+x2y1z1)

und für x*(y*z) = (y1z1x1-y1z2x1)-(y1z2x2+y2z1x2), (y1z1x2-y1z2x2)+(y1z2x1+y2z1x1)


Das rote ist falsch (sicher nur ein Schreibfehler). Sind denn die beiden Sachen gleich? Wenn ja, dann hast du die Assoziativitaet nachgewiesen. smile
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Oh richtig da kommt y2 hin. Aber ich finde trotzdem noch nicht das sie gleich sind. Oder muss man an dieser Stelle noch etwas umformen?
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Zitat:
Original von Ginnyy
Das war echt super erklärt. Jetzt hab ich zum ersten mal verstanden wie das mit dem * gemeint ist:-) danke

Also ich hab für (x*y)*z = (x1y1z1-x2y2z1)-(x1y2z2+x2y1z2), (x1y1z2-x2y2z2)+(x1y2z1+x2y1z1)

und für x*(y*z) = (y1z1x1-y2z2x1)-(y1z2x2+y2z1x2), (y1z1x2-y1z2x2)+(y1z2x1+y2z1x1)


Hier ist auch noch ein Rechenfehler. Dann nur die Summanden umsortieren und es wird gleich.
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Ja der hatte sich aus dem Fehler davor ergeben den hatte ich schon mit verbessert.
(Versuche schon seit heute Mittag um 12 die Aufgaben zu lösen irgendwie ist jetzt die Luft raus.)

Aber wenn die Assoziativität jetzt bewiesen ist ist ja schon mal super:-)

Ich versuch mich dann mal zu morgen an dem neutralen Element.

Schon mal vielen Dank für deine Hilfe.

Wünsch dir noch einen schönen Abend.
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Bei deinen Eigenschaften oben fehlt noch eine ganz wichtige: Die Abgeschlossenheit. Du musst noch zeigen, dass fuer auch ist. Dafuer brauchst du dann die Eigenschaft
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Okay, dafür hab ich jetzt raus

(ac-bd)^2+(ad+bc)^2
=a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2
=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2

aber das ist doch nicht gleich 1 oder?

könnte es sein, dass (G,*) gar keine Gruppe ist?
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Klammer hier mal geschickt aus. Was faellt dir auf?
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Oh ja

a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)

wäre dann a^2+b^2 ?
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Zitat:
Original von Ginnyy
wäre dann a^2+b^2 ?


Das hab ich jetzt nicht verstanden. Du kannst uebrigens nochmal ausklammern.
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Ja ich dachte ich könnte duch c^2+d^2 teilen.

kann man machen (c^2+d^2)(a^2+b^2)? Aber wie würde man dann weitermachen? Es soll doch 1 rauskommen, oder?
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Du weisst doch, dass (a,b) und (c,d) aus G sind. Was haben denn alle Elemente aus G fuer eine Eigenschaft? Was ist denn ?

Ich muss jetzt weg. Wenn sich jemand findet, kann er gern hier uebernehmen.
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Ja a^2+b^2 ist gleich 1 kann man dann sagen dass (c^2+d^2)(a^2+b^2) eins ist?

(danke für die Hilfe)
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Ok noch kurz:

Na jetzt hast dus doch:

Damit hast du die Abgeschlossenheit. Nun noch die anderen Eigenschaften.
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Also Kommutativität hab ich glaube ich hinbekommen

weil wenn man in (c,d)*(a,b) einsetzt erhällt man das selbe wie bei (a,b)*(c,d)

Nur als neutrales Element kenne ich bis jetzt nur die 1 bei der Multiplikation und die 0 bei der Addition

demnach müsste es die 0 sein aber da bin ich mir total unsicher

Und das inverse Element ist doch irgendwas mit anderem Vorzeichen (z.B a+(-a)=0) da versteh ich noch weniger
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Zum neutralen Element:
Du suchst ein Paar (e,f) so, dass (a,b)*(e,f)=(a,b) ist für alle Paare (a,b)
Hier schreibst du wieder die Formeln aus und bekommst ein Gleichungssystem
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Okay dann hab ich ja irgendwann da stehen

(e^2+f^2)(a^2+b^2)=(a,b)

aber wie geh ich dann mir (a,b) um ?
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Kann mir noch irgendwer weiterhelfen?

Komm einfach nicht weiter
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Wie kommst du auf das ? Das kann gar nicht sein, denn links steht eine Zahl und rechts ein Paar.
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Ja, genau das hatte mich auch verwirrt.

Naja jetzt ists eh egal musste heute abgeben.

Ich wollte mich aber auf jeden Fall nochmal ganz doll für deine Hilfe bedanken. Hat mir echt super geholfen.
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Du koenntest ja trotzdem noch versuchen, es herauszubekommen. Dabei kannst du immer was lernen. smile
Ginnyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppen
Ja das stimmt werd ich auch sicherlich tun aber im Moment muss ich mich erst mal auf das neue Aufgabenblatt konzentrieren.

Die nächste Kriese kommt bestimmt:-)
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »