Ungleichung durch rechnung zeigen

31.10.2011, 16:41	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung durch rechnung zeigen Meine Frage: Zeige durch direkte Rechnung, dass für $\begin{eqnarray} m,n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m<n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in \left\{1,...,n\right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Definition der Binomialkoeffizienten verwenden: $\begin{eqnarray} \frac{m!}{k!(m-k)!}<\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Nun habe ich probiert die linke Seite auf die rechte zu bringen, aber ich sehe im Moment das gewisse Etwas nicht. Außerdem habe ich probiert n zu defieren als $\begin{eqnarray} n:=m+x \end{eqnarray}$ , hat mich aber irgendwie nicht weitergebracht.
31.10.2011, 16:45	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch rechnung zeigen Multiplizier doch zunaechst beide Seiten mit $\begin{eqnarray} k! \end{eqnarray}$ Was steht dann da? Schau dir mal beispielhaft an, wie das ganze ausgeschrieben aussieht.
31.10.2011, 16:52	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch rechnung zeigen dann kürzt sich k! weg. könnte ich dann schon sagen die Ungleichung gilt, da n>m
31.10.2011, 16:55	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch rechnung zeigen Das k! hebt sich weg. Aber du kannst dann nicht einfach sagen, dass es gilt, weil m>n denn du hast ja m und n jeweils in Zaehler und Nenner. Schreib mal beispielhaft den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{m!}{(m-k)!} \end{eqnarray}$ aus. Was faellt dir auf?
31.10.2011, 16:59	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch rechnung zeigen $\begin{eqnarray} \frac{1\cdot 2\cdot \cdot \cdot m}{1\cdot 2\cdot \cdot \cdot (m-k-2)\cdot (m-k-1)\cdot (m-k)} \end{eqnarray}$
31.10.2011, 17:00	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch rechnung zeigen Da kann man jetzt noch kuerzen. Dann sollte dir etwas auffallen.
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31.10.2011, 17:03	chi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch rechnung zeigen gekürzt sieht man es doch da n>m Es steht: (m-k+1)(m-k+2)...(m)<(n-k+1)(n-k+2)...(n)
31.10.2011, 17:08	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch rechnung zeigen Genau so.

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