vollständige Induktion mit Ungleichung

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31.10.2011, 16:46	bademeister100	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion mit Ungleichung Meine Frage: hey leute. ich hänge bei einer Induktion und bitte um einen Tipp $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^{2} }\leq 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ I.A. ist klar. I.B. ich setzte n=n+1 und mit üblichem Umformen komme ich auf $\begin{eqnarray} 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab schon versucht es in einen Bruch zu schreiben und die binom. Klammer aufzulösen aber das hat mich nicht zum erfolg gebracht. Ich denke ich bin da auf dem Holzpfad. Wenn ich mir den I.S. anschaue, wäre es ja auch gut die 2 stehen zu lassen und nur $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2} } ~zu~ -\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ zusammenzufassen Bei meinem Versuch kam ich bisher auf $\begin{eqnarray} \frac{-n-\frac{1}{n}-1 }{n^{2}+2n+1 } \end{eqnarray}$ und komme nicht weiter Hilfe!
31.10.2011, 16:51	marshmallow2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion mit Ungleichung hallo, kann es sein, dass du dich bei der Summe verschrieben hast und 1/k² gemeint hast?
31.10.2011, 16:52	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion mit Ungleichung Hi, der I.S. muss so aussehen, $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2} }\leq 2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$
31.10.2011, 16:54	bademeister	Auf diesen Beitrag antworten »
gemeint ist die summe von n=1 bis n sorry. das war vertippt
31.10.2011, 16:57	bademeister	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt hab ich nochmal in die aufgabe geguckt. gesucht ist die summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{n^{2} } \leq 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray}$
31.10.2011, 17:14	marshmallow2	Auf diesen Beitrag antworten »
eine summe von n=1 bis n ist irgendwie merkwürdig, ich kenne nur summen von zum beispiel k=1 bis n, so wie es hangman geschrieben hat. ich bin davon auch ausgegangen. also ich nehme im IS immer das (n+1)te glied aus der summe. dann kannst du auf die restliche Summe die IV anwenden. wenn du dann die restlichen brüche auf einen gemeinsamen nenner bringst, kannst du sie abschätzen und danach kürzen. anschließend hast du denn das gewünschte ergebnis. hört sich umständlich an und ist bestimmt nicht die beste lösung, aber immerhin eine lösung hoffe, es hilft dir trotzdem
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31.10.2011, 17:31	bademeister	Auf diesen Beitrag antworten »
gibt es hier auch noch jemanden der mir wirklich weiterhelfen kann und nicht bloß erklärt, wie induktion funktioniert!?
01.11.2011, 09:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion mit Ungleichung Also etwas solltest du auch selber können. Da wäre als erstes das richtige Aufschreiben der Aufgabe. Es soll wohl heißen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Jetzt mußt du $\begin{eqnarray} \frac{-n-\frac{1}{n}-1 }{n^{2}+2n+1 } \end{eqnarray}$ nur richtig abschätzen. Also dann: $\begin{eqnarray} \frac{-n-\frac{1}{n} - 1}{n^2+2n+1} < \frac{-n-\frac{1}{n} - 1}{n^2+2n+1} + \frac{\frac{1}{n}}{n^2+2n+1} \end{eqnarray}$ Nur noch zusammenfassen, kürzen, fertig.
01.11.2011, 10:57	bademeister	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion mit Ungleichung ich zitiere die aufgabenstellung: Bewiesen Sie für alle natürlichen Zahlen n die Ungleichung $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{2^{2} } +\frac{1}{3^{2} }+ ... + \frac{1}{n^{2} } \leq 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ das ist doch umgeschrieben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray}$ oder?
01.11.2011, 11:12	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion mit Ungleichung Du solltest dich wirklich nochmal mit der korrekten Schreibweise bei diesen Summen vertraut machen. Du schreibst das andauernd falsch. Durch all die Verwirrung hat sich das hier mit der Hilfestellung doch so sehr verzögert. Notation mit dem Summenzeichen

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