Konstruierbare Punkte / Teilmenge

31.10.2011, 16:37	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruierbare Punkte / Teilmenge Hello Hier erstmal die Aufgabe Es sei $\begin{eqnarray} K=\mathbb{C} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M\subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ eine Teilmenge mit $\begin{eqnarray} \{0,1\} \subset M \end{eqnarray}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray} K_0 := \mathbb{Q}(M \cup \bar M) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \bar M := \{ \bar z : z \in M\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} K_0 \subset \end{eqnarray}$ "M dach" (Menge der mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Punkte). So, nun möchte ich gerne erstmal wissen, ob ich mir diese Menge $\begin{eqnarray} K_0 \end{eqnarray}$ richtig vorstelle. Man kann das ja auch so schreiben $\begin{eqnarray} K_0 = \mathbb{Q} \cup M \cup \bar M \end{eqnarray}$ , oder? Das heißt in dieser Menge sind Elemente der Form $\begin{eqnarray} z=a+bi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=a-bi \end{eqnarray}$ enthalten? Eine Zahl $\begin{eqnarray} r \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ kann man ja auch so schreiben: $\begin{eqnarray} r=r+0i \end{eqnarray}$ . Stelle ich mir die Menge $\begin{eqnarray} K_0 \end{eqnarray}$ richtig vor? Dann müsste ich nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} K_0 \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von "M dach" ist. Vielen Dank schon mal für Hilfe.
31.10.2011, 16:39	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konstruierbare Punkte / Teilmenge $\begin{eqnarray} K_0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ adjungiert $\begin{eqnarray} M\cup \overline M \end{eqnarray}$ . Das ist nicht das gleiche, wie $\begin{eqnarray} \mathbb Q\cup M\cup \overline M \end{eqnarray}$
31.10.2011, 17:29	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(M \cup \bar M) \end{eqnarray}$ der kleinste Teilkörper von $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ist, der $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M \cup \bar M \end{eqnarray}$ enthält. Und wenn ich mir das dann überlege, komme ich darauf, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(M \cup \bar M) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \cup M \cup \bar M \end{eqnarray}$ sein muss.
31.10.2011, 17:35	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm doch einfach mal $\begin{eqnarray} M=\{0,1,i\} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q(M\cup \overline M)=\{a+bi\|a,b\in\mathbb Q\}\neq Q\cup \{i,-i\} \end{eqnarray}$ . Es ist immer $\begin{eqnarray} \mathbb Q\cup M\cup \overline M\subseteq \mathbb Q(M\cup\overline M) \end{eqnarray}$ . Es muss aber das erste kein Koerper sein.

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