komplexe quadratische gleichung

31.10.2011, 17:50

h0lla

komplexe quadratische gleichung

Hey Leute.
Hier mal meiner erster Beitrag.
Ich habe folgende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} z^2 + (3-i)z = (\frac{3}{2} + 2\sqrt{3})i \end{eqnarray*}$

Die Lösung soll in z=x+iy angegeben werden.
Als Hilfe ist folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} sin\frac{\pi}{6}=cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} ,<br /> sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} ,<br /> sin\frac{\pi}{3}=cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{eqnarray*}$

Ich könnte nun ausklammern und umformen wie z.b:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}i = i + i cos\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Aber sobald ich irgendwann eine Wurzel zieh um $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ wegzubekommen, steht ja irgendwo $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ .
Oder muss ich z ausklammern und habe dann für z zwei Lösungen?

Hoffe ihr helft mir weiter.

lg

31.10.2011, 20:22

weisbrot

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RE: komplexe quadratische gleichung
setze doch erstmal z:=a+bi in deine ursprungsgleichung ein und ermittle a und b. die hilfen kannst du dann denke ich benutzen.
lg

01.11.2011, 17:04

h0lla

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Habs eingesetzt und nach b umgesetzt.
Das schien aber wenig Sinn zu ergeben.

Nun hab ich mir überlegt i auszuklammern und es so aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} (a^2+3a)+(2ab+3b-a)i = 0 + (\frac{3}{2}+2\sqrt{3})i \end{eqnarray*}$

So dass ich

$\begin{eqnarray*} a^2+3a=0 \end{eqnarray*}$

setze und dann für a=0 oder a=-3 habe.

Nun würd ich die beiden a in
$\begin{eqnarray*} (2ab+3b-a)i=(\frac{3}{2}+2\sqrt{3})i \end{eqnarray*}$

einsetzen.

Zum Schluss setz ich dann die zusammengehörigen as und bs in die 1. Formel.

Ist das so richtig, oder darf ich irgendwas davon nicht machen?

01.11.2011, 17:15

weisbrot

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Zitat:

Habs eingesetzt und nach b umgesetzt.
Das schien aber wenig Sinn zu ergeben.

richtig

aber genau was du gemacht hast meinte ich Freude

du vergleichst im prinzip jeweils realteile und imaginärteile der seiten der gleichung (so wie bei koeffizientenvergleich bei bspw. polynomen).
du bekommst ein gleichungssystem mit 2 unbekannten, löst das, und erhältst somit dein z (wenn du richtig gerechnet hast).
lg

01.11.2011, 18:11

h0lla

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Also dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} z_1=0+(\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3})i \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} z_2=-3+(-\frac{3}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3})i \end{eqnarray*}$

Aber was kann ich nun mit meinen gegeben Hilfen anfangen?
Oder bin ich so schon fertig?

Besten dank schonmal smile

01.11.2011, 18:34

weisbrot

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hab mal nachgerechnet. du hattest wohl schon in deinem 2. post ein par rechenfehler. beheb die erstmal. lg

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