Beweis, dass eine bijektive Funktion eine Äquivalenzrelation ist

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31.10.2011, 18:05	DormunerJung	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass eine bijektive Funktion eine Äquivalenzrelation ist Hallo. Ich komme bei der Lösung folgender Aufgabe nicht zurecht: "Sei M eine Menge A,B $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Potenzm.(M). Zu zeigen ist, dass die Relation A~B :<=> $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ f: A->B bijektiv eine Äquivalenzrelation ist." Zwar denke ich - es sollte REFLEXIVITÄT, SYMMETRIE und TRANSIVITIVITÄT nachgewiesen werden, aber ich verstehe nicht recht, wie ich das anstellen kann. Grundsätzlich irritert mich u.a. warum die Mengen Elemente der Potenzmenge sind/sein müssen/sollen. Ich habe nicht wirklich einen Plan - wie man von Bijektivität zu den drei Eigenschaften von Äquivalenzrelationen kommt... Es wäre toll - wenn mich - dumm wie ich anscheinend bin - jemand unterstützen könnte... Viele Grüße...
31.10.2011, 18:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollten sie keine Elemente der Potenzmenge sein? Es ist im Grunde doch völlig egal, wo die herkommen, hier ist es eben die Potenzmenge. Die genannten Eigenschaften sind nun zu überprüfen, am einfachsten dürfte die Reflexivität sein. Steht also jedes $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ in Relation zu sich selbst?
31.10.2011, 18:29	DormunerJung	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi again... (und schon mal danke für die Antwort/Hilfe!) Vorab eine Frage: Warum schreibt man eine Relation A~B - sind da nicht normalerweise die Kleinbuchstaben zu nutzen - oder bedeutet das hier die Realtion zweier Mengen (weil großbuchstaben). Ich dachte normalerweise an a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A (genau das gleich für b bzw. B). Was das WOHER angeht: grundsätzlich gebe ich Dir recht - ist egal - wohler - aber warum schreibt man das - ist das etwas "besonderes" - dass sie aus der selben Potenzmenge kommen - gilt das nur in diesem Fall - etc.... ? Das irritierte mich ein wenig - wie man auf die Potenzmenge an dieser Stelle kommt... Was die REFLEXIVITÄT angeht: da die Funktion A -> B bijektiv ist - gilt, dass jedem a ein b ("und" umgekehrt) zugeordnet wird - was m.E. der Reflexivität nachkommt. Sofern das richtig ist - wie hab ich das FORMAL zu schreiben?!?
31.10.2011, 18:49	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
In dieser Aufgabe betrachtest du eben eine Relation, die auf der Potenzmenge einer Menge definiert ist. Bei der nächsten Aufgabe muss das schon nicht mehr so sein. Da welche Funktion bijektiv ist? Wir haben überhaupt keine Funktion. Wir haben nur eine Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und die Potenzmenge $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ . Jetzt definieren wir auf der Potenzmenge eine Relation durch $\begin{eqnarray} A\sim B \Leftrightarrow \exists f:A\rightarrow B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bijektiv. Fragen wir nach der Reflexivität, interessieren wir uns dafür, ob jedes Element der Grundmenge zu sich selbst in Relation steht. Ist also $\begin{eqnarray} A\sim A \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in P(M) \end{eqnarray}$ ? Das kannst du ganz einfach über die Definition der Relation überprüfen, gibt es eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ?
31.10.2011, 19:26	DormunerJung	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin verwirrt - offen gestanden... Ich komme nicht ganz klar mit der Relation (vor allem mit dem Part " es existiert ein f: A -> B bjektiv". Wie soll ich das verstehen? Die Relation spannt doch A x B auf - wie kann ich da jetzt ein f von A nach B verarbeiten / abbildet? Eine Relation ist erst einmal ein Teilmenge des kart. Produktes A1 x A2 ... X An - in unserem Fall die binäre Relation zwischen A und B. (A x B) Bei Äquiv.Rel. muss ja eben Refl.,Symm, Transitivität vorliegen - und nachgewiesen werden in unserem falle... Grundsätzlich wäre eine Abbildung von A nach A (noch einmal sei die Frage nach den Kleinbuchstaben gestellt!?!?) x ~ x steht ja für die Reflexivität - wenn wir das Basisbeispiel der Literatur heranziehen - hier mit Menge M mit x,y,z Element von M. Aber ich kreige den Bogen überhaupt nicht auf diese Abbildung?!? Wenn wir die Reflexiviät betrachten - also gerade x~x - bei uns A~A - und die Relation besteht in der Existenz der Abbildung von A nach A, welche bijektiv ist - dann wird jedes Elemt von A auf sich selbst zurückgeworfen - aus der Definition der Bijektivität und das entspricht der Reflexivität -?!? Sorry - es hat noch nicht Klick gemacht bei mir...
31.10.2011, 19:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da geht einiges durcheinander bei dir... Die Relation spannt nicht A x B auf, das hat damit überhaupt nichts zu tun. Stattdessen haben wir eine Relation auf der Potenzmenge $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ gegeben, d.h. $\begin{eqnarray} R\subseteq P(M) \times P(M) \end{eqnarray}$ . Wir sagen jetzt: zwei Elemente der Potenzmenge, diese Elemente sind ja selber wieder Mengen, stehen in Relation zueinander, wenn eine bijektive Abbildung zwischen diesen beiden Mengen existiert. Damit die Relation jetzt reflexiv ist, muss für jede Menge $\begin{eqnarray} A\in P(M) \end{eqnarray}$ eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ existieren. Da genügt es einfach, diese (sehr offensichtliche) anzugeben.
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31.10.2011, 19:51	DormunerJung	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du wohl recht - mit den DURCHEINANDERGEHEN. Noch mal sorry... Danke für die Erklärung bzgl. der Potenzmenge - bzw. der Relation... Somit erklärt sich auch die Nutzung der Großbuchstaben - weil die Element der Potenzmenge eben auch wieder Mengen sind... Zur Reflexivität: Wenn ich jedes Element jeder (möglichen Menge) A auf eben das selbe Element der Menge abbilde - also jedem a Element A sich wieder selbst zurodne ( a -> a) dann kann ich das eben mit jeglicher Art von Menge aus der Potenzmenge M tun - dann habe ich eben eine bijektive Abb. und damit ist die Relation reflexiv?!? Dann sprechen wir aber doch von kleinem "a", oder ?!? Ist das ein wenigstens ein bischen richtig?!? Oh Mann...
31.10.2011, 19:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das jetzt noch sauber aufschreiben würdest und vielleicht die identische Abbildung ins Spiel bringst, wäre das ein Nachweis der Reflexivität, ja.
31.10.2011, 20:04	DormunerJung	Auf diesen Beitrag antworten »
f: A -> A : a -> a (Identische Abbildung); f := bijektiv; somit ist ~ reflexiv ?!?
31.10.2011, 21:00	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
f:= bijektiv ergibt keinen Sinn. Die Identität ist aber eine bijektive Abbildung und für jede Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kann man diese nehmen, also ist die Relation reflexiv.
01.11.2011, 17:52	DormunerJung	Auf diesen Beitrag antworten »
OK - damit hätten wir die Reflexivität - die wirklich einfach ist - wenn man es verstehen (würde) ;-) Bei der Symmetrie ist also die Frage - ob es eine bij. Abb. gibt - von A nach B - und daraus zu schließen ist (Äpuivalent), dass es auch eine Abb. von B nach A gibt. Sofern eine bijektive Abb. würde doch nur bei gleichmächtigen Mengen möglich sein - denn jedes Element der ersten Menge wird einem Element der zweiten zugeordnet - keines wird doppelt zugeordnet. Solange ich also eine gleichmächtige Menge finde zu X (hier also unser Y) kann ich immer eine Abb. finden, die bijektiv ist - und diese ist auch umkehrbar. Sofern X auch Y sein darf - funktioniert das - auf jeden Fall - also die Relation symmetrisch?!?
01.11.2011, 18:20	DormunerJung	Auf diesen Beitrag antworten »
zur Transitivität: Wenn ich eine f bijektiv von X nach Y finde (f) und eine von Y nach Z (g), dann kann ich sie auch verketten von X nach Z (g o f) und es gilt ~ transitiv?
01.11.2011, 19:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest auf deine Formulierungen achten. Damit die Relation reflexiv ist, muss jedes Element der Grundmenge zu sich selbst in Relation stehen. Bei der Symmetrie und Transitivität sehen wir uns nur solche an, die schon in der Relation enthalten sind. Zur Symmetrie seien also $\begin{eqnarray} A,B\in P(M) \end{eqnarray}$ und für diese Mengen existiert schon eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} f:A\rightarrow B \end{eqnarray}$ . Du musst jetzt lediglich noch begründen, warum dann auch eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ existiert.

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