Körper |
31.10.2011, 22:22 | Bessi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Körper ich habe den Körper K = Z / 2Z gegeben. Warum gilt hier (x+1)^2 = x^2+1 ? Ich denke, dass ich die Lösung habe, bin aber nicht ganz sicher. Daher die Frage: Ist folgende Erklärung korrekt? (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 in Z. Da wir nun aber in Z / 2Z sind, fallen alle Teiler von 2 weg, das heisst: (x+1)^2 = 1*x^2 + 0*x + 1 = x^2 + 1. MfG |
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31.10.2011, 22:25 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig. In gilt . (Die Striche dienen nur zur Verdeutlichung der Restklasse und werden im alltäglichen gebrauch nicht geschrieben.) |
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31.10.2011, 22:52 | Bessi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Bestätigung |
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31.10.2011, 23:38 | Bessi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Körper Sorry, ich hab nochmals was: Wenn ich ein Polynom 5x^5 + 4x^4 + 12x^3 + 24x^2 - 20x + 22 aus Q[x] habe, und zeigen möchte, dass es irreduzibel ist, so muss ich eigentlich zeigen, dass es keine Nullstelle in Q gibt. Dazu muss man ja p/q aus Q wählen, sodass p/q eine Nullstelle von f ist. Wie aber sind p und q zu bestimmen? Naiverweise würde ich die Kandidaten +/- 2 und +/- 5 vorschlagen. MfG |
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31.10.2011, 23:41 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Körper Dass das Polynom keine Nullstelle hat, reicht nicht fuer die irreduzibilitaet. Zum Beispiel hat x^4+2x^2+1=(x^2+1)(x^2+1) keine Rationale Nullstelle. Es ist aber offenbar trotzdem nicht irreduzibel. |
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31.10.2011, 23:42 | Bessi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Körper Stimmt, Polynome mit Grad grösser 3 sind "speziell". Was muss ich hierbei prüfen? |
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31.10.2011, 23:43 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
1. Nur Polynome vom Grad 3 oder kleiner sind irredzibel genau dann wenn sie keine Nullstelle haben. Ein Polynom vom grad 5 könnte auch eine Zerlegung in ein Polynom vom Grad 2 und Grad 3 haben. Zu den NST: Sei und eine Nullstelle von f mit teilerfremenden p,q . Dann gilt und . (Um im Üblichen Jargon zu Bleiben: Das Ersetzen der Fragezeichen bleibt dem geneigten Leser überlassen) Das Polynom schreit nach Eisenstein. |
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31.10.2011, 23:46 | gitterrost4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Körper Eigentlich ist das ja der allgemeine Fall... Die "speziellen" sind die vom Grad kleiner oder gleich 3. Der meist angewandte Satz zur Bestimmung der irreduzibilitaet ist Eisenstein. Sagt dir das was? EDIT: sorry galoisseinbruder. Ich dachte du waerest nicht mehr online. Du darfst gern wieder uebernehmen. |
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31.10.2011, 23:55 | Bessi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Körper Danke euch beiden. Man kann also p = 2 finden, womit nach Eisenstein folgt, dass das Polynom irreduzibel ist. Oder? |
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01.11.2011, 00:00 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. Wobei Du offiziell nur irreduzibel in den ganzen Zahlen gezeigt hast; Du brauchst noch das Lemma von Gauß für irreduzibel in |
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01.11.2011, 00:02 | Bessi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super, danke dir! Eine letzte Frage noch: Was, wenn plötzlich noch ein y in der Polynomgleichung steht, also zB: x^3 + 5x - y^3 aus Q[x,y] ? |
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01.11.2011, 00:09 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fasse als auf, also Polynomring in y mit als Grundring. (geht genauso mit Vertauschten Rollen für x und y) Da das Polynom Grad 3 (es zählen jetzt nur die y´s) hat reicht es Nullstellenfreiheit zu zeigen, sprich: ist |
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01.11.2011, 00:43 | Bessi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super, danke dir! Gute Nacht! |
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