Körper

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Bessi123 Auf diesen Beitrag antworten »
Körper
Hi @ all.

ich habe den Körper K = Z / 2Z gegeben.
Warum gilt hier (x+1)^2 = x^2+1 ?

Ich denke, dass ich die Lösung habe, bin aber nicht ganz sicher.
Daher die Frage: Ist folgende Erklärung korrekt?
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 in Z. Da wir nun aber in Z / 2Z sind, fallen alle Teiler von 2 weg, das heisst: (x+1)^2 = 1*x^2 + 0*x + 1 = x^2 + 1.

MfG
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. In gilt . (Die Striche dienen nur zur Verdeutlichung der Restklasse und werden im alltäglichen gebrauch nicht geschrieben.)
Bessi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Bestätigung smile
Bessi123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Sorry, ich hab nochmals was:

Wenn ich ein Polynom
5x^5 + 4x^4 + 12x^3 + 24x^2 - 20x + 22 aus Q[x] habe, und zeigen möchte, dass es irreduzibel ist, so muss ich eigentlich zeigen, dass es keine Nullstelle in Q gibt.

Dazu muss man ja p/q aus Q wählen, sodass p/q eine Nullstelle von f ist.
Wie aber sind p und q zu bestimmen?
Naiverweise würde ich die Kandidaten +/- 2 und +/- 5 vorschlagen.

MfG
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Dass das Polynom keine Nullstelle hat, reicht nicht fuer die irreduzibilitaet.

Zum Beispiel hat x^4+2x^2+1=(x^2+1)(x^2+1) keine Rationale Nullstelle. Es ist aber offenbar trotzdem nicht irreduzibel.
Bessi123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Stimmt, Polynome mit Grad grösser 3 sind "speziell".
Was muss ich hierbei prüfen?
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

1. Nur Polynome vom Grad 3 oder kleiner sind irredzibel genau dann wenn sie keine Nullstelle haben. Ein Polynom vom grad 5 könnte auch eine Zerlegung in ein Polynom vom Grad 2 und Grad 3 haben.

Zu den NST:
Sei und eine Nullstelle von f mit teilerfremenden p,q . Dann gilt und .
(Um im Üblichen Jargon zu Bleiben: Das Ersetzen der Fragezeichen bleibt dem geneigten Leser überlassen)


Das Polynom schreit nach Eisenstein.
gitterrost4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Eigentlich ist das ja der allgemeine Fall... Die "speziellen" sind die vom Grad kleiner oder gleich 3.

Der meist angewandte Satz zur Bestimmung der irreduzibilitaet ist Eisenstein. Sagt dir das was?

EDIT: sorry galoisseinbruder. Ich dachte du waerest nicht mehr online. Du darfst gern wieder uebernehmen.
Bessi123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Danke euch beiden.
Man kann also p = 2 finden, womit nach Eisenstein folgt, dass das Polynom irreduzibel ist. Oder? smile
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wobei Du offiziell nur irreduzibel in den ganzen Zahlen gezeigt hast; Du brauchst noch das Lemma von Gauß für irreduzibel in
Bessi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke dir! smile
Eine letzte Frage noch: Was, wenn plötzlich noch ein y in der Polynomgleichung steht, also zB:
x^3 + 5x - y^3 aus Q[x,y] ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Fasse als auf, also Polynomring in y mit als Grundring. (geht genauso mit Vertauschten Rollen für x und y)
Da das Polynom Grad 3 (es zählen jetzt nur die y´s) hat reicht es Nullstellenfreiheit zu zeigen, sprich: ist
Bessi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke dir!
Gute Nacht! smile
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