Summe normalverteilter Zufallsvariablen |
31.10.2011, 22:48 | Mariam3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Summe normalverteilter Zufallsvariablen Seien und zwei unabhängige Zufallsvariablen und und . 1. Zeige dass und unabhängig sind. Anmerkung: 2. Zeige dass und Meine Ideen: Zu 2): Da und unabhängig sind, gilt und |
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31.10.2011, 22:57 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Summe normalverteilter Zufallsvariablen Also bei 1.) würde ich mir erstmal die Definition für unabhängige Zufallsvariablen ansehen und bei 2.) die Verteilungsfunktionen versuchen aufzustellen. Bedenke dabei, daß die Summe zweier normalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls normalverteilt ist. Wie sehen für diese Summe nämlich Erwartungswert und Varianz aus? |
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31.10.2011, 23:29 | Mariam3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu 1): Wenn und unabhängig sind gilt doch , aber ich verstehe die Anmerkung nicht, bedeutet das |
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01.11.2011, 08:46 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Art bzw. Umfang der Lösung können erheblich verändert bzw. verringert werden, wenn du schon ein Vorwissen über die multivariate Normalverteilung hast. Die Anmerkung bei 1. würde ich jedenfalls so lesen, dass du über diesen Weg gehen kannst. |
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01.11.2011, 14:39 | Mariam3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo René, meinst du das hier: "Die multivariate Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften: Sind die Komponenten paarweise unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig." und sind unkorreliert wenn also müsste die Kovarianzmatrix der multivariaten Normalverteilung sein. |
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01.11.2011, 15:00 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Unter anderem das, ja. Und dann auch noch dies:
Im vorliegenden Fall würde man das für anwenden, mit Matrix und Nullvektor . |
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01.11.2011, 17:27 | Mariam3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stehe gerade etwas auf dem Schlauch. und sind (1-dimensional multivariat) normalverteilt. und sind 2-dimensional multivariant normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswertvektor und sind durch lineare Transformation aus und entstanden? |
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01.11.2011, 17:44 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, bitte exakt bleiben: und sind reelle, also eindimensionale Zufallsgrößen. Als Vektor gebündelt, aber schreibe es dann auch so hin, d.h. ist das 2-dimensional multivariat normalverteilt.
Ja, mit der angegebenen Transformationsmatrix , rechne doch mal nach!
Nun ja, bei eindimensional spricht man strenggenommen nicht mehr von multivariat - obwohl rein formal nichts dagegen spricht. Hier wird es aber eher so benutzt, dass der Vektor multivariat (bei n=2 spricht man auch von bivariat) normalverteilt ist, mit einem Mittelwertvektor, der sich aus den Mittelwerten der Komponenten ergibt, d.h. . Die Kovarianzmatrix ergibt sich bei unabhängigen Komponenten wie hier als Diagonalmatrix, wo auf der Diagonalen die Einzelvarianzen stehen, hier konkret also . Ist also die von mir im letzten Beitrag genannte Transformationseigenschaft bekannt, dann ist für die Berechnung der Verteilung von hier nur noch ein bisschen Matrizenmultiplikation angesagt, allerdings recht harmlose, da nur 2x2 mit sehr einfachen Einträgen. |
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01.11.2011, 19:44 | Mariam3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke! D.h. über die Transformation hat man 2.) gezeigt und 1.) sieht man anhand der Kovarianzmatrix von . Aber wie kommt man denn auf die Transformationsmatrix ohne die Angabe der Verteilungen und unter 2.) |
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02.11.2011, 16:42 | Mariam3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kannst du mir bitte kurz erklären wie du auf die Transformationsmatrix gekommen bist. |
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02.11.2011, 18:08 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die ergibt sich doch direkt aus
also so viel Vorbildung aus dem Bereich Lineare Algebra (Gleichungssystem usw.) sollte doch wohl da sein. |
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