Wie erstelle ich die 1./2./3. Ableitung von folgender Gleichung: 1/1+x²? |
| 31.10.2011, 23:33 | airecrack86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wie erstelle ich die 1./2./3. Ableitung von folgender Gleichung: 1/1+x²? Es soll eine gebrochen-rationale Funktion f(x) = 1 / x² - 1 analysiert werden. Zeigen Sie, dass die 1., 2., 3., Ableitung von f(x) wie folgt lautet: f'(x) = -2 * x / (x²-1)² f''(x) = 2 * 3x²+1 / (x²-1)³ f'''(x) = -24 * x(x²+1) / (x²-1)^4 Meine Ideen: Ich habe schon die erste Ableitung bilden können. Nun hänge ich auf dem Weg fest, um von der f'(x) auf die f''(x) zu kommen. Ich habe schon den Ansatz der Produktregel und danach die Kettenregel bzw. Produktregel danach Quotientenregel danach Kettenregel probiert und scheitere einfach nur. Bitte um einen hilfreichen Ansatz für die Lösung der Aufgabe. Vielen Dank. |
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| 31.10.2011, 23:58 | KA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das müsste doch mit der Quotientenregel in den Griff zu bekommen sein. Vielleicht beschreibst du noch genauer an welchem Schritt du hängst. |
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| 01.11.2011, 00:02 | airecrack86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich habe die Quotientenregel angewandt. f'(x) = u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x) ____________________ v(x)² u = x u' = 1 v = (x²-1)² v' = 4x(x²-1) eingesetzt: 1 * (x² - 1)² - x * 4x (x²-1) ______________________ (x²-1)^4 ...ich habe schon alles ausprobiert, aber ich komme nicht auf die f''(x) mit diesem Weg. |
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| 01.11.2011, 00:22 | KA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also bei deiner Quotientenregel ist u=-2x und nicht u=x. wenn du das einsetzt und (x²-1) rauskürzt kommt auch das richtige raus |
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| 01.11.2011, 01:44 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich könnte man die -2 auch einfach als Vorfaktor stehen lassen ... Was Du in jedem Fall machen solltest, ist (x²-1) ausklammern und anschließend kürzen. |
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| 01.11.2011, 09:02 | KA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast natürlich völlig recht. Jedenfall ist es genau diese -2, die am Ende fehlt, dass das richtige rauskommt |
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| 01.11.2011, 09:51 | airecrack86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Antworten, wenn ich euren Rat befolge, komme ich immer noch nicht auf das richtige Ergebnis. Ich schreibe es nochmal auf. u = -2x u' = -2 v = (x²-1)² v' = 4x(x²-1) Schritt 1 [(-2 * (x² - 1)²] - [(-2x) * (x²-1) * 4x] ________________________________ (x²-1)^4 Schritt2 [(-2 * (x² - 1)²] - [(-2x) * 4x] __________________________ (x²-1)^3 Schritt3 [(-2 * (x² - 1)²] - (-8x²] _________________________ (x²-1)^3 Schritt 4 (-2x²+2)² - (-8x²] _________________________ (x²-1)^3 ...wo ist mein Fehler?? V |
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| 01.11.2011, 10:10 | airecrack86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe nochmal einen Anderen Weg probiert, dass was ich gerade eben gerechnet habe ist schwachsinnig gewesen. Anbei: f''(x) = - 2 [ (x²-1)² * (1) - (x) * 2 (x² - 1) 2x] / (x² - 1)^4 Einmal "(x²-1)" kürzen: f''(x) = - 2 [ (x²-1) - 4 x²] / (x² - 1)³ f''(x) = - 2 [ - 3 x² - 1 ] / (x² - 1)³ = 2 ( 3x² + 1 ) / (x² - 1)³ |
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| 01.11.2011, 11:24 | airecrack86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So nun geht aber weiter, von der entstanden Ableitung f''(x) soll nun die Ableitung f'''(x) gebildet werden. f''(x) = 2 * 3x²+1 / (x²-1)³ f'''(x) = -24 * x(x²+1) / (x²-1)^4 Also ich habe wieder die Quotientenregel angewandt. f'(x) = u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x) ____________________ v(x)² u = 3x² + 1 u' = 6x v = (x²-1)³ v' = 6x(x²-1)² ---Kettenreregel--> v'' = 6(5x^4-6x²+1) f'(x) 2* [ (6x * (x² - 1)³ - (6(5x^4 - 6x² + 1) * (3x²+1))] ______________________________________________ (x²-1)^5 ..aber diesem Punkt hänge ich... |
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| 01.11.2011, 14:43 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wozu multiplizierst Du v' aus? Kürzen ist auch hier das Mittel zum Ziel. |
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