Satz über arithm/geom/harmonisches Mittel beweisen

01.11.2011, 11:02

liebe_Maus

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Satz über arithm/geom/harmonisches Mittel beweisen

Edit (mY+): Deine Überschrift "Steh auf dem Schlauch! Kniffilige Aufgabe" ist vollkommen daneben. Der Titel soll den Inhalt des Themas kurz und treffend kennzeichnen!

Hallo liebe Mathefreunde smile

smile

ich verzweifel gerade an dieser Aufgabe:
Aufgabe:
Für positive reelen Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{1} ,a_{2} ...a_{n} >0 \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,...a_{n}):=\frac{1}{n} (a_{1} + a_{2} + ...a_{n} ) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} G(a_{1} ,...a_{n}):=\sqrt[n]{(a_{1} \cdot a_{2} \cdot ...\cdot a_{n}} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} H(a_{1} ,...a_{n}):=\frac{1}{A(\frac{1}{a_{1} } ,...,\frac{1}{a_{n} }) } =:\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2} } + ...+ \frac{1}{a_{3} } } \end{eqnarray*}$
das arithemetische , geometrische und harmonische Mittel von $\begin{eqnarray*} a_{1} ,a_{2} ...a_{n} \end{eqnarray*}$
1) Zeigen sie: Falls $\begin{eqnarray*} a_{1}0<a_{2} \leq ...\leq a_{n} \end{eqnarray*}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray*} a_{1} \leq A(a_{1} ,...a_{n}) \leq G(a_{1} ,...a_{n}) \leq H(a_{1} ,...a_{n})\leq a_{n} \end{eqnarray*}$
2) Wann gilt $\begin{eqnarray*} H(a_{1} ,...a_{n})= G(a_{1} ,...a_{n}) \end{eqnarray*}$

Zu1)
Wie zeige ich $\begin{eqnarray*} H(a_{1} ,...a_{n})\leq G(a_{1} ,...a_{n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{1}\leq H(a_{1} ,...a_{n}) \end{eqnarray*}$ . Ich hab dafür 4 Seiten voller Ansätze, aber ohne Ergebnisse.
Hab vollständige Induktion ausprobiert. Da verliert man sich ins Komplizierte. Mein Widerspruchsbeweis ist auch gescheiert und und und...
Alle anderen Ungleichungen sind schon gezeigt!
Zu 2)
Sei $\begin{eqnarray*} a_{1} =a_{2}= ...=a_{n}=1 \end{eqnarray*}$ , dann folgt
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{1+ 1+ 1+ 1+ ...+ 1} =\frac{n}{n\cdot 1} =\sqrt[n]{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1} =\sqrt[n]{1} =1 \end{eqnarray*}$ .
Also gilt $\begin{eqnarray*} H(a_{1} ,...a_{n})= G(a_{1} ,...a_{n}) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} a_{1} =a_{2}= ...=a_{n}=1 \end{eqnarray*}$ ist.
q.e.d
Ist das so richtig?
Und bitte bitte bitte hilft mir bei 1). Ich stehe da einfach auf den Schlach.

lg
liebe_Maus

01.11.2011, 11:17

Huy

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HM-GM folgt direkt aus GM-AM. Stelle fest, dass nach GM-AM $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k}} \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ gilt. Forme nun um.

MfG

01.11.2011, 20:33

liebe_Maus

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ich knobel da schon seit eine halbe Ewigkeit herum und ich kann mir leider nicht erschließen wie ich aus dem

GM $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ AM auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k}} \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ komme. Könnte mir jemand mir hierfür einen Tipp geben?
Apropos, Ist mein Teil zu 2) eigentlich auch korrekt?

lg
liebe_Maus

01.11.2011, 21:07

liebe_Maus

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Ich weiß das GM $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ AM ist, also stelle ich erstmal um und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{AM} \leq \frac{1}{GM} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k}} \leq GM \leq AM \end{eqnarray*}$ . Also muss zeigen das mein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ entweder kleiner als GM ist oder kleiner als AM,. Aber das ist der Punkt, in der ich durch zahlreiches Umformen, immer noch so schlaub bin wie am Anfang.
Meine Reserven an Möglichkeiten sind erstmal erschöpft. Deshalb würde ich sehr lieb freuen, wenn da jemand mich unterstützen würden.
lg
liebe_Maus

01.11.2011, 23:38

liebe_Maus

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Hat denn wirklich keiner eine Idee zu der Aufgabe?

01.11.2011, 23:43

Huy

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Zitat:

Original von liebe_Maus
ich knobel da schon seit eine halbe Ewigkeit herum und ich kann mir leider nicht erschließen wie ich aus dem

GM $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ AM auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k}} \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ komme. Könnte mir jemand mir hierfür einen Tipp geben?

Da ist kein Zwischenschritt versteckt, das ist einfach direkte Anwendung von GM <= AM auf die n-te Wurzel des Produkts...

MfG

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02.11.2011, 00:07

liebe_Maus

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Ist dann dein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{AM} \end{eqnarray*}$

Sry ich verstehe die Anwendung nicht. Vielleicht kannst du mir etwas ausführlicher die Anwendung zeigen?

02.11.2011, 00:15

liebe_Maus

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Mein Problem liegt im Wesentlichen aus dem $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} A(\frac{1}{a_{1} } ,\frac{1}{a_{2} } ,...,\frac{1}{a_{n} } ) \end{eqnarray*}$ zu kommen. Und hier scheitert es bei mir technisch? Ansonsten ist alles andere für mich klar!

02.11.2011, 00:15

Huy

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k}} = \text{GM} \leq \text{AM} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$

MfG

//e: Oder in deiner Schreibweise des Erstposts: $\begin{eqnarray*} G(a_1^{-1}, ..., a_n^{-1}) \leq A(a_1^{-1}, ..., a_n^{-2}) \end{eqnarray*}$

02.11.2011, 00:20

liebe_Maus

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Moment, du behauptest das $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A(\frac{1}{a_{1} } ,\frac{1}{a_{2} } ,...,\frac{1}{a_{n} } ) \end{eqnarray*}$ . Das muss auch gezeigt werden? Wie kommst du auf dieser Überlegung. DAs ist genau die Empfindliche Stelle, an der ich mich schwer tue

Edit: Oder genauer wie kommt die Gleicheit von $\begin{eqnarray*} A(a_1^{-1}, ..., a_n^{-2}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A(\frac{1}{a_{1} } ,\frac{1}{a_{2} } ,...,\frac{1}{a_{n} } ) \end{eqnarray*}$ zustande? Da fehlt ja eine gewisse Umformung, die die Gleicheit verifiziert!

02.11.2011, 00:22

Huy

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Gleichheit habe ich niemals behauptet. Ich wende GM-AM einfach auf andere $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ an...

MfG

02.11.2011, 00:29

liebe_Maus

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Aber wenn du $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} )= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ schreibst und $\begin{eqnarray*} A(\frac{1}{a_{1} } ,\frac{1}{a_{2} } ,...,\frac{1}{a_{n} } ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ ist, so ist nach deinen Ansatz $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A(\frac{1}{a_{1} } ,\frac{1}{a_{2} } ,...,\frac{1}{a_{n} } ) \end{eqnarray*}$ ?!
Also doch Gleich oder irre ich mich?

02.11.2011, 00:31

Huy

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Zitat:

Original von liebe_Maus
Aber wenn du $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} )= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ schreibst

Das hier habe ich nirgendwo geschrieben. Es ist $\begin{eqnarray*} A(a_{1}^{-1} ,...,a_{n}^{-1} )= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ . Falls das ein Problem für dich ist, definiere $\begin{eqnarray*} b_i := a_i^{-1} \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} A(b_1, ..., b_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \end{eqnarray*}$ .

MfG

02.11.2011, 00:35

liebe_Maus

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Moment, verstehe ich dich Richtig das du mit $\begin{eqnarray*} A(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ) \end{eqnarray*}$ nicht AM meinst?
Was ist das $\begin{eqnarray*} AM \end{eqnarray*}$ dann bei dir? Sry ist mir aber etwas unklar!

02.11.2011, 00:36

Huy

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AM ist die Abkürzung für ein arithmetisches Mittel.
Ich muss jetzt leider off. Bitte tu mir den Gefallen und schau dir meinen ersten Tipp nochmal an, nachdem du jetzt hoffentlich realisiert hast, dass ich GM <= AM auf 1/a_i statt auf a_i angewendet habe. Ich habe hier nämlich - ohne dich angreifen zu wollen - das Gefühl, dass du dir über den Inhalt meiner Beiträge nicht wirklich Gedanken machst.

MfG

02.11.2011, 00:42

liebe_Maus

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Nein, nein, nein, ich gib mir wirklich sehr viel Mühe um deine Beiträge zu verstehen und vielleicht brauche einfach etwas Schlaf, damit es mir klar wird. Ich danke dir viiiiiiielmas für deine Hilfsbereitschaft. Gute Nacht!
lg
liebe_Maus

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