Kuratowski-Paar ohne Paar-Axiom

01.11.2011, 13:12

dreikommadrei

Kuratowski-Paar ohne Paar-Axiom

Aufgabe:
Seien A und B nichtleere Mengen.
Durch $\begin{eqnarray*} (x,y) := \left\{\left\{x\right\},\left\{ x,y \right\} \right\} \end{eqnarray*}$
werde für $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ ein geordnetes Paar (Kuratowski-Paar) definiert. Zeigen Sie, dass dann für $\begin{eqnarray*} x,u \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y,v \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y)=(u,v) \Rightarrow x=u\wedge y=v \end{eqnarray*}$
gilt.

Leider stehe ich bei der Aufgabe ein wenig ratlos da. Wikipedia sagt etwas von "Peanos Paaraxiom" leider haben wir bis jetzt allerdings nur 3 Peanon Axiome kennen gelernt (kein n mit n'=0, wenn n'=m' -> n=m und das Induktionsaxiom).

Was ich weiß:
Nach definition ist
$\begin{eqnarray*} (x,y):=\left\{ \left\{ x\right\}, \left\{ x,y \right\} \right\} ~ und ~(u,v) :=\left\{ \left\{ u\right\}, \left\{ u,v \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ x\right\}, \left\{ x,y \right\} \right\} =\left\{ \left\{ u\right\}, \left\{ u,v \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Wir haben also auf beiden Seiten eine Menge, mit jeweils 2 Elementen (diese sind wieder Mengen).
Da die beiden Mengen gleich sind, sind sie auch jeweils Teilmenge der anderen.

d.H. $\begin{eqnarray*} \forall a\in \left\{ \left\{ x\right\}, \left\{ x,y \right\} \right\}: a\in \left\{ \left\{ u\right\}, \left\{ u,v \right\} \right\} \end{eqnarray*}$
also Alle Elemente aus der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ x\right\}, \left\{ x,y \right\} \right\} \end{eqnarray*}$ sind auch Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ u\right\}, \left\{ u,v \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} \left\{ x \right\} \in \left\{ \left\{ u\right\}, \left\{ u,v \right\} \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{ x,y \right\} \in \left\{ \left\{ u\right\}, \left\{ u,v \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

und natürlich auch umgekehrt...

jetzt müsste ich irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ x \right\} = \left\{ u\right\} \end{eqnarray*}$
kann ich nun begründen, dass, da A und B nichtleere Mengen sind und $\begin{eqnarray*} v\in B \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} \left\{ x \right\} \neq \left\{ u,v\right\} \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ x \right\} = \left\{ u\right\} \end{eqnarray*}$
und da dies gilt, auch x=u sein muss?

01.11.2011, 13:46

dreikommadrei

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RE: Kuratowski-Paar ohne Paar-Axiom

Zitat:

Original von dreikommadrei
kann ich nun begründen, dass, da A und B nichtleere Mengen sind und $\begin{eqnarray*} v\in B \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} \left\{ x \right\} \neq \left\{ u,v\right\} \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ x \right\} = \left\{ u\right\} \end{eqnarray*}$
und da dies gilt, auch x=u sein muss?

Oder vielleicht sogar besser eine Fallunterscheidung?

da $\begin{eqnarray*} \left\{ x\right\} \in \left\{\left\{u\right\},\left\{ u,v\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

bedeutet dass,
$\begin{eqnarray*} \left\{ x\right\} = \begin{cases} \left\{ u\right\} \\ \left\{ u,v\right\}\Rightarrow u=v \Rightarrow \left\{ u,v\right\}=\left\{ u\right\}\end{cases} \Rightarrow x=u \end{eqnarray*}$

damit wäre ja dann gezeigt, dass x=u ist.

da
$\begin{eqnarray*} \left\{ x,y\right\} \in \left\{\left\{u\right\},\left\{ u,v\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ und x=u

bedeutet dass,
$\begin{eqnarray*} \left\{ x,y\right\} = \left\{ u,y\right\} = \begin{cases} \left\{ u\right\} \Rightarrow u=y ~ v=?\\ \left\{ u,v\right\}\Rightarrow v=y \end{cases} \Rightarrow v=y \end{eqnarray*}$

hier hänge ich. darf ich denn davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ ist?
Das Problem ist halt, dass nicht da steht, dass A und B nicht die gleiche oder eine Teilmenge von einander sein dürfen und demnach wäre dieser Fall eben möglich...

Da nun aber auch {u,v} Element von {{x},{x,y}} sein muss, wäre ja dann auch entweder v=u und y=x -> v=y oder v=y

01.11.2011, 14:12

dreikommadrei

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Wir haben ja oben bereits gezeigt, dass x=u gilt...

Nun möchte ich zeigen, dass y=v gilt:

$\begin{eqnarray*} \left\{ u,v\right\} = \begin{cases} \left\{ x\right\} = \left\{ u\right\} \Rightarrow v=u=x \Rightarrow \left\{ x,y\right\} =\begin{cases} \left\{ x\right\} = \left\{ v\right\} = \left\{ u\right\} \Rightarrow x=y=v=u \\ \left\{ u,v\right\}=\left\{ x,x\right\}=\left\{ x\right\}\Rightarrow y=x=u=v \end{cases} \\ \left\{ x,y\right\} = \left\{ u,y\right\} \Rightarrow v=y \end{cases} \Rightarrow x=u \wedge y=v \end{eqnarray*}$

geht das so?

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