Potenzmenge einer leeren Menge.

01.11.2011, 14:38

MoeMoeson

Potenzmenge einer leeren Menge.

Sei A eine Menge, dann gilt für die Potenzmenge:
$\begin{eqnarray*} | P(A) | = 2^{| A |} \end{eqnarray*}$

das leuchtet mir nicht ein. Denn wenn $\begin{eqnarray*} A=\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ ist, hat sie = Elemente und daher 0 Teilmengen.
Aber $\begin{eqnarray*} | P(\left\{ \right\} ) | = 2^{| 0 |} = 1 \end{eqnarray*}$
Wieso is jetzt die Mächtigkeit der Potenzmenge (einer Menge A mit der MÄchtigkeit 0) = 1?
Schließlich sind alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ auch nur $\begin{eqnarray*} \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ .

Müsste nich also die Mächtigkeit der Potenzmenge auch 0 sein?

Liebe Grüße!

Das soll gerade mein Induktionsanfang für den Beweis dieser Formel werden, aber hier bleib ich leider schon stecken!

PS:
Was mich gerade stutzig macht:
ich sehe gerade ich soll nicht $\begin{eqnarray*} | P(A) | = 2^{| A |} \end{eqnarray*}$ beweisen, sondern:

Zitat:

Beweisen Sie, dass fur die Machtigkeit einer endlichen Menge
A gilt: $\begin{eqnarray*} P(A) = 2^{| A |} \end{eqnarray*}$

Haben se da einfach die Betragsstriche vergessen oder macht das auch so sinn?

01.11.2011, 14:45

dreikommadrei

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Sei A eine Menge...

würdest du der Aussage $\begin{eqnarray*} \left\{\right\} \subseteq A \end{eqnarray*}$ zustimmen?

01.11.2011, 14:47

MoeMoeson

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Zitat:

Original von dreikommadrei
Sei A eine Menge...

würdest du der Aussage $\begin{eqnarray*} \left\{\right\} \subseteq A \end{eqnarray*}$ zustimmen?

01.11.2011, 14:48

dreikommadrei

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also ist $\begin{eqnarray*} \left\{\right\} \end{eqnarray*}$ eine(!) Teilmenge von A.

das heißt also, die leere Menge ist immer eine Teilmenge einer Menge.

Da die leere Menge ja auch eine Menge ist, ist sie natürlich auch von sich selbst eine Teilmenge smile

01.11.2011, 14:54

MoeMoeson

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$\begin{eqnarray*} | P(\left\{ \emptyset \right\} ) | = 2^{| 1 |}? \end{eqnarray*}$
dann müsste die Potenzmenge aber 2 Elemente haben, richtig?

Wäre das dann $\begin{eqnarray*} P(\left\{ \emptyset \right\} ) = \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Denn hier unter Beispiele steht, die Potenzmenge hat nur 1 Element.

01.11.2011, 15:04

dreikommadrei

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Langsam Langsam!
Die Leere Menge ist kein Element sondern eine Menge.
Das solltest du nicht durcheinander bringen.

Du hast richtig erkannt, dass die Mächtigkeit der leeren Menge = 0 ist.
Dennoch ist die leere Menge eine Menge (nämlich eine leere).

Ein Beispiel.
Stell dir vor, der Mengenbegriff ist ein Beutel.
Wenn nun der Beutel leer ist, ist er immer noch ein Beutel.

Die Potenzmenge kannst du dir nun als Beutel vorstellen, in dem alle anderen möglichen Beutel drin sind.

als beispiel:
du hast einen Apfel und eine Birne (unsere Menge).
Jetzt kannst du einen Beutel leer lassen, in mit einer Birne, mit einem Apfel oder mit beiden füllen. Jeder Beutel wäre eine "Teilmenge" unserer Menge.
In unserer Potenzmenge findest du nun alle unsere Teilmengen. Also hier 4.

01.11.2011, 15:09

MoeMoeson

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ahh das leuchtet ein! vielen dank! smile

01.11.2011, 15:09

René Gruber

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Zitat:

Original von MoeMoeson
$\begin{eqnarray*} | P(\left\{ \emptyset \right\} ) | = 2^{| 1 |}? \end{eqnarray*}$
dann müsste die Potenzmenge aber 2 Elemente haben, richtig?

Wäre das dann $\begin{eqnarray*} P(\left\{ \emptyset \right\} ) = \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist richtig, aber dieses $\begin{eqnarray*} A = \left\{ \emptyset \right\} \end{eqnarray*}$ hat ja auch genau 1 Element, es ist dann $\begin{eqnarray*} |P(A)| = 2^{|A|} = 2^1 = 2 \end{eqnarray*}$ .

Hier im Thread ging es doch aber eigentlich um $\begin{eqnarray*} A = \emptyset \end{eqnarray*}$ statt um $\begin{eqnarray*} A=\{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ !!! Und da ist nun mal

$\begin{eqnarray*} P(\emptyset) = \left\{ \emptyset \right\} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, das Durcheinander in deinem Kopf lichtet sich allmählich? Jedenfalls sind diese geschweiften Klammer {,} nichts, was man nach Lust und Laune hier hinzufügen oder weglassen kann... Augenzwinkern

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