Äquivalenzrelation auf Potenzmenge

01.11.2011, 15:09

Sopranino

Äquivalenzrelation auf Potenzmenge

Hallöchen,

ich hab schon eine Weile im Internet gesucht und auch hier im Forum, aber leider nichts gefunden, was mich so wirklich weiterbringt...
Folgende Aufgabe:

Zwei Mengen X,Y heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: X->Y \end{eqnarray*}$ gibt.

Es sei M eine Menge. Zeigen Sie, dass die durch
X~Y :<=> X, Y sind gleichmächtig
definierte Relation eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} A:=P(M) \end{eqnarray*}$ ist.

Also, ich weiß, dass ich für eine Äquivalenzrelation (ÄR) zeigen muss, dass Reflexivität, Symmetrie und Transitivität gilt.
1) a~a
2) a~b <=> b~a
3) a~b, b~c => a~c

Soweit, so gut. Aber ich hab keine Ahnung, wie ich das auf meine Aufgabe anwenden soll... Kann ich mir ein a, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X wählen und damit rechnen?
1) ist klar, da es sich hier um eine bijektive Abb. handelt, oder? Aber wie schreibe ich das formal auf? Ich rätsel da schon eine Ewigkeit rum, aber das mit den Relationen bekomm ich einfach nicht hin...
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

01.11.2011, 15:28

Math1986

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RE: Äquivalenzrelation auf Potenzmenge

Zitat:

Original von Sopranino

Also, ich weiß, dass ich für eine Äquivalenzrelation (ÄR) zeigen muss, dass Reflexivität, Symmetrie und Transitivität gilt.
1) a~a
2) a~b <=> b~a
3) a~b, b~c => a~c

Soweit, so gut. Aber ich hab keine Ahnung, wie ich das auf meine Aufgabe anwenden soll... Kann ich mir ein a, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X wählen und damit rechnen?

Nein, nicht ganz.

Diese Äquivalenzrelation ist auf $\begin{eqnarray*} A:=P(M) \end{eqnarray*}$ definiert, also musst du $\begin{eqnarray*} a,b\in A \end{eqnarray*}$ wählen und mit diesen rechnen.

Sonst stimmt der Ansatz aber.

01.11.2011, 15:41

Sopranino

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Achso, okay.
Darf ich denn dann trotzdem mit der Bijektivität aus X->Y argumentieren?
Ich verstehe nämlich nicht so ganz den Zusammenahng... Irgendwie muss ich die ja verknüpfen...

Also ich hätte die Symmetrie jetzt so begründet, da die Abbildung bijektiv ist, gibt es zu jedem Urbild einen Punkt und zu jedem Punkt ein Urbild, daher ist a~b=b~a

Aber bei der Reflexivität hörts auf. Und bei der Transitivität auch. Oder kann ich mir da noch ein c aus A hernehmen?

01.11.2011, 16:19

Math1986

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Zur Reflexivität ist eigendlich nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A'\in A \end{eqnarray*}$ gleichmächtig wie $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ ist, d.h. du musst eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon A'\to A' \end{eqnarray*}$ wählen - welche Abbildung käme da in Frage?
Die Symmetrie hast du schon richtig argumentiert, Zu jeder bijektiven Abbildung gibt es auch eine bijektive Umkehrabbildung.
Zur Transitivität nimmst du nun $\begin{eqnarray*} A',B',C'\in A \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A'\sim B' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B'\sim C' \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray*} A'\sim C' \end{eqnarray*}$

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