vollständige Induktion Erbsenproblem

Neue Frage »

arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion Erbsenproblem
Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich soll folgende Aufgabe lösen und habe hierzu eingie Theorien.

Behauptung: In jedem Sack Erbsen gibt es nur gelbe oder nur nichtgelbe Erbsen.
Beweis mit vollständiger Induktion über die Anzahl n 2 N der Erbsen im Sack:
Der Induktionsanfang n = 1 ist trivial. Nehmen wir im Induktionsschritt aus
einem Sack mit n  1 Erbsen eine Erbse e heraus (ohne sie anzusehen), so
sind die restlichen n ? 1 Erbsen nach der Induktionshypothese alle gelb oder
alle nichtgelb. Um diesen Farbton festzustellen, entnehmen wir dem Sack eine
weitere Erbse g und legen die Erbse e wieder in den Sack. Der Sack enthält also
wieder n? 1 nach der Induktionshypothese ausschließlich gelbe oder nichtgelbe
Erbsen. Also ist e genau dann gelb, wenn auch g gelb ist. Der Induktionsbeweis
ist beendet. 
Wo liegt der Fehler?

Meine Ideen:
also die erste Theorie ist die, dass man in diesem Beweisvrfahren keine Induktion für das nächste Glied macht, sondern für das vorhergehende. Bedeutet also: Ich zeige, dass für n bzw. n-1 die Aussage richtig ist, anstatt zu zeigen, dass für steigende n, also n+1 bzw. n, die Behauptung zu bestätigen. Bei einer vollständigen Induktion muss man aber per Defitionion stet zeigen, dass das Folgeglied die Behauptung stützt.

Die zweite Möglichkeit ist die Behauptung selbst. Sie wird quasi für die Induktion benutzt ohne dass ihre Richtigkeit geprüft wird.

Danke für eure Tipps im Voraus
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion Erbsenproblem
das erste quadrat soll ein "-" sein und beim zweiten handelt es sich um das Symbol für den Abschluss eines Beweises.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder so ein Copy+Paste-Dreck...
Und die ganzen Fragezeichen stören auch enorm: Es handelt sich da z.T. vermutlich um Plus- oder Minuszeichen, so dass der ganze Beweis in der gegenwärtigen Form nur als entstellt zu bezeichnen ist. Finger2
Anyone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung: In jedem Sack Erbsen gibt es nur gelbe oder nur nichtgelbe Erbsen.
Beweis mit vollständiger Induktion über die Anzahl der Erbsen im Sack:
Der Induktionsanfang n = 1 ist trivial. Nehmen wir im Induktionsschritt aus
einem Sack mit Erbsen eine Erbse e heraus (ohne sie anzusehen), so
sind die restlichen Erbsen nach der Induktionshypothese alle gelb oder
alle nichtgelb. Um diesen Farbton festzustellen, entnehmen wir dem Sack eine
weitere Erbse g und legen die Erbse e wieder in den Sack. Der Sack enthält also
wieder nach der Induktionshypothese ausschließlich gelbe oder nichtgelbe
Erbsen. Also ist e genau dann gelb, wenn auch g gelb ist. Der Induktionsbeweis
ist beendet.
Wo liegt der Fehler?

Ich fang mal bei deiner zweiten Idee an. Die stimmt nicht, da für die Induktionshypothese ersteinmal immer angenommen wird wird, dass die zu zeigende Aussage stimmt (das sie für n=1 stimmt wurde ja gezeigt).

Auch die erste Idee ist nicht ganz richtig. Wenn du den Text genau ließt fällt dir auf, dass von n-1 Erbsen auf n geschlossen wird, was natührlich das gleiche ist wie von n auf n+1.

Versuch dir mal Vorzustellen was nach der "Anleitung" wirklich gemacht wird. Du hast z.B. 10 Erbsen im Sack (= n-1) die alle die gleiche Farbe haben. Jetzt kommt eine Erbse E dazu...
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

ja sorry für die formalitätsfehler....
danke, dass du de text nochmal neu verfasst hast.

...also wenn man eine erbse dazunimmt, so geht man den schritt von n-1 auf n.
bedeutet: im übernächsten schritt würde man einfach gesagt erneut zwei erbsen herausnehmen und und eine davon sich anschauen, während man die andere zurücklegt.
ich meine...ich sehe, dass diese induktion fehlerhaft ist aber mir fehlt das entscheidende argument.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

oder leigt der fehler evtl. in einer erneuten annahme, dass g genau dann gelb ist, wenn e gelb ist?

Ahhh....ich werde hier noch verrückt wegen den Erbsen!!!
 
 
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

der fehler ist doch, dass man mit n=1 den induktionsschritt nicht vollziehen kann...also zwei erbsen herausnehmen usw.

ist das der springende punkt?
Anyone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich geschrieben habe. Überleg dir einfach als Beispiel was genau gemacht wird:

10 (n-1) Erbsen sind im Sack. Wir nehmen an für 10 Erbsen gilt die Aussage. D.h. die 10 Erbsen haben die gleiche Farbe. Zu zeigen ist, dass 11 Erbsen auch die gleiche Farbe haben und das wird so gemacht:

Eine neue Erbse e wird in den Sack gelegt.
Eine "alte" Erbse g wird entnommen.
Jetzt sind im Sack 10 Erbsen.
Für 10 Erbsen gilt die Aussage nach unserer Annahme.
Die entnommene Erbse g war vorher schon im Sack d.h. sie hat auch die gleiche Farbe.
Daher haben alle 11 Erbsen die gleiche Farbe.

Ist dir jetzt klar an welcher Stelle der Fehler gemacht wird?
McFetz Auf diesen Beitrag antworten »

also, wird der fehler gemacht, wenn von g auf e geschlossen wird, obwohl eigentlich von e auf g geschlossen werden müsste ?

sry, dass ich mich hier rienquetsche, aber sitze nun auch schon ewig daran.
Anyone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler ist, dass aus der Annahme, dass die Formel für 10 Erbsen gilt darauf geschlossen wird, dass sie auch für 9 "alte" und die "neue" gilt nur weil es insgesammt wieder 10 Erbsen sind und eine "alte" entfernt wurde. Es muss aber gezeigt werden, dass sie für 10 "alte" und die "neue" gilt.

Anders ausgedrückt ist der Fehler, dass 10*g nicht gleich 9*g+e ist, da e nicht notwendigerweise die gleiche Farbe wie g hat.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von McFetz
also, wird der fehler gemacht, wenn von g auf e geschlossen wird, obwohl eigentlich von e auf g geschlossen werden müsste ?

sry, dass ich mich hier rienquetsche, aber sitze nun auch schon ewig daran.


auch ana-aufgabe? ;D


Danke Anyone21....das ergibt mehr Sinn, als alles bisher gesagte! =D
McFetz Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich doch gemeint smile

aber so ausgeschrieben, hört es sich doch besser an. big up !

auch wenn die abgabe vor 40minuten war und es mir nur den gedanklichen fortschritt bringt gg .

tHx
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Da widerspreche ich Anyone21:

Der hier geschilderte Induktionsschritt ist völlig richtig, sofern ist (also auch für n=11).

Das Problem ist eher, dass er für nicht gilt, und zwar genau diese Stelle hier:

Zitat:
Original von Anyone21
Also ist e genau dann gelb, wenn auch g gelb ist.

Dieser Schluss klappt nur über eine "Drittengleichheit", d.h. wenn außer e und g noch mindestens eine weitere Erbse im Sack ist - was aber nur für der Fall ist. Augenzwinkern


Wenn also der Induktionsanfang um den Fall ergänzt werden könnte, wäre der Beweis in Ordnung. Dummerweise klappt just das eben nicht. Big Laugh
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »