Äquivalenzrelationen |
| 01.11.2011, 17:43 | FaToS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Äquivalenzrelationen Hallo Leute, ich hab dieses Semester angefangen Mathe auf Lehramt zu studieren und muss jede Woche Hausaufgaben abgeben. Diese Woche hab ich ein wenig Schwierigkeiten mit den Hausaufgaben und bitte euch um Hilfe. Die Aufgabe ist wie folgt: Sei R:={(x,y) Element aus dem Produkt der ganzen Zahlen \x²-y² kongruent 0 mod 4}. 1) Zeige, dass R eine Äquivalenzrelation auf die ganzen Zahlen ist. 2) Bestimme die Äquivalenzklassen und ein Vertretersystem. 3) Finde eine Abbildung f: die ganzen Zahlen, werden auf die ganzen Zahlen abgebildet, sodass eine Äquivalenzrelation Q mit der Partition Ganze Zalen / Q(f)=R ist. Meine Ideen: Ich habe schon die ersten beiden Teilaufgaben gemacht und hoffe die sind richtig, aber mit der dritten Teilaufgabe konnte ich leider nichts anfangen... 1) Um zu zeigen, dass R eine Äquivalenzrelation auf die ganzen Zahlen ist, muss man ja zeigen, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Reflexiv ist R, da wenn man für y x einsetzt folgendes ergibt: x²-x²kongruent 0 mod 4. Symmetirsch ist R für x = y, -x = y oder x = -y. Da x²-y² = y²-x², x²-y² = (-x)²-y², x²-y² = x²-(-y)². Transitiv ist R für x = +/- y = +/-y. Da z.B. für x=2, y=-2 und z=-2 folgendes gilt: (2,-2) Element aus den ganzen Zahlen und (-2,-2) Element aus den ganzen Zahlen, impliziert (2,-2) aus den ganzen Zahlen.Jedoch für x ungleich y ungleich z mit dem Beispiel: x=2, y=-1 und z=3 folgendes entsteht: (2,-1) Element aus den ganzen Zahlen und (-1,3) Eleemnt aus den ganzen Zahlen, impliziert nicht (2,3) Element aus den ganzen Zahlen. 2) Ich hab die Äquivalenz wie folgt bestimmt: Die Menge der positiven ganzen Zahlen mit dem Vertreter: 2 Die Menge der negativen ganzen Zahlen mit dem Vertreter: -3 Die Menge von 0 mit dem Vertreter: 0 Zu 3 habe ich leider keien Lösung und wäre sehr erfreut über eine Hilfe um diese lösen zu können. Danke im Voraus. Liebe Grüße Fatos |
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| 01.11.2011, 17:55 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Äquivalenzrelationen Verstehe ich dich richtig, dass du meinst, dass R nicht transitiv ist ? Dann müsstest du ein Gegenbeispiel angeben.
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| 01.11.2011, 18:09 | Fa T oS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Äquivalenzrelationen Hey Pascal95, merke gerade dass ich einen Fehler gemacht habe... Ich meinte eigentlich auch, dass R transitiv ist, undzwar für x=+/-y=+/-z. Das Beispiel von mir, sollte als Gegenbeispiel dienen, jedoch ist es an sich falsch. Danke für den Hinweis. Gruß FaToS |
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| 01.11.2011, 18:15 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Transitivität bedeutet aber: Für alle x,y,z aus R gilt: Wenn x~y und y~z, dann x~z. |
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| 01.11.2011, 18:25 | Fa T oS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber dann kann R nicht transitiv sein, und wenn R nicht transitiv, symmetrisch und reflexiv ist, dann kann es keine Äquivalenzrelation auf die ganzen Zahlen sein. Dann wäre ja der Rest der Aufgabe unsinnig? Wo habe ich denn den Fehler? |
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| 01.11.2011, 18:28 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du denn nun Transitivität gezeigt oder widerlegt ? |
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| 01.11.2011, 18:31 | Fa T oS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also eigentlich hatte ich die transitivität gezeigt, aber nach dem du gesagt hast, dass es für alle x, y und z gelten muss, muss ich das widerlegen da es nur transitiv ist, wenn x=y=z ist. |
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