Analysis I Übung, Beweis

01.11.2011, 17:47

DonLeonard

Analysis I Übung, Beweis

Meine Frage:
Zu der Aufgabe 1.3)

http://www.math.uni-konstanz.de/~hoffmann/LA/Ueb1ho.pdf

Ich verstehe nicht, wie man den Beweis unter Teilaufgabe (i) und (iii) aufschreibt.
Kann mir einer behilflich sein?

Meine Ideen:
Habe noch keine Ideen

01.11.2011, 17:53

Huy

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Das ist lineare Algebra, nicht Analysis.

MfG

01.11.2011, 18:16

DonLeonard

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Ach Mist, ich hab den falschen Link verwendet:

Dieser hier ist der richtige.

http://www.math.uni-konstanz.de/~kurth/A1WS1112/blatt1.pdf

01.11.2011, 18:18

Gast11022013

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Un Dir geht es um was? Was genau ist Dein Problem?

01.11.2011, 18:59

DonLeonard

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Ich weiß nicht, wie ich den Beweis so hinschreiben kann, dass er auch formal richtig ist. Bin Mathe-Neuling. Hatte bisher in keiner Vorlesung eine derartige Aufgabe, bzw. ein Musterbeispiel, an dem man sich hätte orientieren können.

Ich denke man bei (i) so beginnt: Sei x E f, dann f(U) n f(V)

Bei der (iii) habe ich keine Idee, wie man das beweistechnisch aufschreibt.

01.11.2011, 19:02

Gast11022013

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(i) Nimm' ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ her und zeige, daß es auch Element von $\begin{eqnarray*} f(U)\cap f(U) \end{eqnarray*}$ ist.

(ii) und (iii) funktionieren nach dem gleichen Muster.

01.11.2011, 19:25

DonLeonard

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Okay, also führt man den Beweis dann mit dem Urbild von f durch??

01.11.2011, 19:27

Gast11022013

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Kann/ sollte man machen.

01.11.2011, 22:28

DonLeonard

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Ich hab das Schema noch nicht erfasst.! Wäre es möglich, die (i) einmal korrekt auszuführen, damit ich daraus die richtigen Schlüsse für die (ii) und (iii) ziehen kann.!?
Das wäre sehr nett!
Danke

02.11.2011, 08:50

klarsoweit

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Du mußt nicht das Schema erfassen, sondern das Hirn anstrengen. In Anlehnung an den Tipp von Dennis2010 mußt du folgendes zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} y \in f(U) \cap f(V) \end{eqnarray*}$ .

Überlege, was es bedeutet, wenn $\begin{eqnarray*} y \in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ ist.

02.11.2011, 09:05

Dumdidum1

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Hallo, ich sitze momentan an der gleichen Aufgabe, bin mir aber leider auch nicht sicher, ob meine Lösung so richtig ist...vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben?
i) sei $\begin{eqnarray*} x\in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)\in U\cap V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)\in V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x\in f(U) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in f(V) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} x\in f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$

ist der Beweis für $\begin{eqnarray*} f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$ so machbar? Wäre toll, wenn mir jemand weiter helfen könnte smile

02.11.2011, 09:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dumdidum1
i) sei $\begin{eqnarray*} x\in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)\in U\cap V \end{eqnarray*}$

Das ist die falsche Schlußfolgerung. Warum gebe ich bloß eine Tipp, wie man anfängt? verwirrt

02.11.2011, 10:50

Gast11022013

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Du betrachtest doch ein beliebiges

$\begin{eqnarray*} x\in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mußt Du Dir einfach mal überlegen, was das eigentlich bedeutet. Das Stichwort "Urbild" war ja schon gefallen.

Edit:

Ich sehe gerade, daß klarsoweit schon einen fast identischen Beitrag etwas weiter oben geschrieben hat. Sorry für das Wiederholen...

02.11.2011, 17:59

DonLeonard

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Stimmt das dann so:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in f(U\cap V), dann ist auch x\in f(U)\cap f(V). Es gilt x\in f(U) und x\in f(V). Somit ist <br /> x\in f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$ .

Fertig.

02.11.2011, 20:51

flauzz777

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Hi Leute,

wäre klasse wenn Ich zu 1.3 (iii) auch noch nen Ansatz für den Beweiss des Urbildes hättet :-)

02.11.2011, 21:07

Gast11022013

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Zitat:

Original von DonLeonard
Stimmt das dann so:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in f(U\cap V), dann ist auch x\in f(U)\cap f(V). Es gilt x\in f(U) und x\in f(V). Somit ist <br /> x\in f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$ .

Fertig.

Sorry, aber das stimmt so nicht...

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists y\in U\cap V: f(y)=x \end{eqnarray*}$

Für dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gilt also $\begin{eqnarray*} y\in U\wedge y\in V \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=f(y)\in f(U)\wedge x=f(y)\in f(V) \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} x=f(y)\in f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$

02.11.2011, 22:04

Dumdidum1

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Kann ich die Lösung dann auch so schreiben...?
Sei $\begin{eqnarray*} x \in f(U\cap V) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f(x)^{-1} \in U\cap V \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f(x)^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x \in f(U) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in f(V) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} x\in f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$

02.11.2011, 22:09

Gast11022013

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Ja, ist ja das Gleiche. Nur, daß Du dem Urbild keinen "Namen" gibst.

02.11.2011, 22:10

Dumdidum1

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Ok das ist ja toll smile

...vielen Dank!

02.11.2011, 22:30

Gast11022013

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Dann nochmal zu 1.3 (iii):

Zu zeigen ist:

1.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B\setminus U_1)\subseteq A\setminus f^{-1}(U_1) \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B\setminus U_1)\supseteq A\setminus f^{-1}(U_1) \end{eqnarray*}$

Ich zeige mal 1.):

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(B\setminus U_1) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sei im Urbild von $\begin{eqnarray*} B\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)\in B\setminus U_1 \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} f(x)\in B\wedge f(x)\notin U_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in A\wedge x\notin f^{-1}(U_1) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\in A\setminus f^{-1}(U_1) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du Dich an 2.) versuchen, wenn Du magst.

Wink

03.11.2011, 11:45

Dumdidum1

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Sieht die Lösung für 2) dann so aus...?

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\setminus f^{-1}(U_1) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} f(x)\in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)\notin U_1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1} (B\setminus U_1) \end{eqnarray*}$

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