Laurentreihe um i entwickeln

01.11.2011, 18:46	Anna123	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe um i entwickeln Meine Frage: Hallo Ich hab da eine Aufgabe, die mir seit mehreren Wochen schon Kopfschmerzen bereitet und bei der ich einfach nicht auf einen grünen Zweig komme ...vielleicht könnt ihr mir dabei helfen a) Entwickele $\begin{eqnarray} f(z)= \frac{z}{z- i} \end{eqnarray}$ um (Lamda)=i auf allen möglichen Bereichen in eine Laurentreihe. Gebe den Bereich an und erkläre den Typ der Singularität. b) Gebe eine meromorphe Funbktion f an, deren Laurentreihenentwicklungen um den Punkt i die Konvergenzringe 0 kleiner \|z-1\| kleiner 2, 2 kleiner \|z-1\| kleiner 3,\|z-1\|größer 3 sind MFG Anna Meine Ideen: Meine Überlegungen landen alle in einer Sackgasse. Ich weiß, dass ich eine Laurentreihe entwickeln, indem ich in eine bekannte Reihe einsetze. Die einzig sinnvolle wäre die geometrische, aber so komme ich nicht weiter ... Außerdem könnte ich eine Polynomdivision machen und dann beim ganzrationalen Anteil die Taylorreihe anwenden ...das blöde ist nur, dass der ganzrationale Anteil hier 1 ist Ich vermute, dass es sich hier um eine hebbare Singularität handelt ...
01.11.2011, 19:19	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) einfach etwas erweitern und man hat die laurentreihe. $\begin{eqnarray} \frac{z}{z-i} = \frac{z-i+i}{z-i} = 1 + \frac{i}{z-i} \end{eqnarray}$ ich weiß leider nicht genau was ihr unter "bereich" versteht. würdest du nun immernoch sagen, dass diese singularität hebbar ist?
01.11.2011, 19:55	Anna 123	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe um i entwickeln Herzlichen Dank ersteinmal für die schnelle Antwort zu a) huch ...jetzt bin ich verwirrt. Auf das gleiche Ergebnis: $\begin{eqnarray} 1+ \frac{i}{z- 1} \end{eqnarray}$ bin ich auch mithilfe einer einfachen Polynomdivision gekommen ...mir war allerdings nicht klar, dass dies schon die Laurent- Reihe ist, weil ich hier nichts aufsummiere ... Was wäre denn hier der Haupt und der Nebenteil? Ist vielleicht 1 der Nebenteil und der Rest der Haptteil? Wäre es so müsste es ja ausgeschrieben so aussehen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=- \infty }^- 1 + \sum\limits_{k=0}^\infty i (z-i)^{- 1} \end{eqnarray}$ Der Hauptteil der Laurent Reihe würde dann nach k Gliedern abbrechen und ich hätte einen Pol. Stimmt die Überlegung? Wieso soll ich dies dann in allen Möglichen Bereichen entwickeln?
01.11.2011, 20:00	Anna 123	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe um i entwickeln achja ich habe mal vermutet, dass man unter Bereich den Konvergenzbereich meint, also sich anschaut wo es konvergiert, divergiert. Wie dies mit der Aufgabenstellung zusammenhängt weiß ich aber auch nicht
01.11.2011, 20:31	Anna 123	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe um i entwickeln Ich mein natürlich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty 1 + \sum\limits_{k=1}^\infty i (z-i)^{- 1} \end{eqnarray}$ hab mich wohl vertippt
01.11.2011, 20:44	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
so stimmt das nicht, wie du es aufgeschrieben hast. die reihe hat ja die form: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty a_{-k} (z-i)^{-k} + \sum_{k=0}^\infty a_{k} (z-i)^k \end{eqnarray}$ wobie hier $\begin{eqnarray} a_{-1} = i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ sind. d.h. die reihe besteht nur aus 2 gliedern. $\begin{eqnarray} i \cdot (z-i)^{-1} + 1 \cdot (z-i)^0 \end{eqnarray}$ mit deiner schreibweise hättest du z.b. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty 1 = \infty \neq 1 \end{eqnarray}$ du hast richtig erkannt, dass es eine polstelle (mit ordnung 1) ist. und offensichtlich konvergiert diese reihe für alle $\begin{eqnarray} z \neq i \end{eqnarray}$ .
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02.11.2011, 18:19	Anna 123	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe um i entwickeln Hallo a) Herzlichen Dank für die Antwort ...man stand ich auf dem Schlauch. Aber deine Erklärungen waren Gold wert. zu b) so ganz kommm ich da irgendwie auch nicht durch. Meine Überlegungen: Ich habe also 3 Kreisringe. zu diesen 3 Kreisringen würde ich mir nun versuchen eine funktion zu bestimmen. dazu würde ich die geometrische Reihe verwenden 2 kleiner $\begin{eqnarray} \| z- i\| \end{eqnarray}$ kleiner 3 würde z.B. in $\begin{eqnarray} \frac{1}{1- \frac{2}{z- i} } + \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1- \frac{z- i}{3} } \end{eqnarray}$ umgewandelt werden das ganze kann man umschreiben zu: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \frac{1}{3- z- i} + \frac{1}{z- i} \frac{1}{z- i- 2} \end{eqnarray}$ meine Probleme sind nun: 1) wie gehe ich im ersten Teil vor und bestimme \| z- i\| größer 0 2) wie soll ich das auf einen Hauptnenner bringen 3) glaube ich, dass mein Ansatz zu kompliziert gedacht ist, da diese Aufgabe ja als b) notiert und ich bestimmt Ergebnisse aus der a dafür nutzen kann MfG Vera
02.11.2011, 18:26	Anna 123	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe um i entwickeln nur für den Fall, dass man sich über die Namen wundert Vera= Anna (wir haben mal in der Ich Form geschrieben, aber die Antwort dieser Frage interessiert mehrere Leute ...)

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