Eigenschaften von Radon- Nikodym

01.11.2011, 19:05

Megatron

Eigenschaften von Radon- Nikodym

Meine Frage:
Hallo, ich soll folgende Eigenschaften per Maßtheoretischer- Induktion zeigen:
Seien $\begin{eqnarray*} \mu,\nu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ endliche Maße auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal F) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nu\ll\mu\ll\alpha \end{eqnarray*}$ .
a) Zeige, dass für eine $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ -integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \int f d\nu=\int f \frac{d\nu}{d\mu}d\mu \end{eqnarray*}$ .
Hinweis: Zeige durch Maßtheoretische- Induktion.

Meine Ideen:
Ich habe mir folgendes für die Maßtheoretische- Induktion überlegt:
1. Indikatorfkt.: Sei $\begin{eqnarray*} f:= \mathbb I_A \end{eqnarray*}$ . Dann ist:
$\begin{eqnarray*} \int f d\nu = \nu(A) = \int_A f d\mu = \int \mathbb I_A f d\mu = \int f \frac{d\nu}{d\mu}d\mu \end{eqnarray*}$

2. Treppenfkt.: Sei $\begin{eqnarray*} f:=\sum_{i=1}^n \alpha_i \mathbb I_{A_i} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ -messbare Funktion. Dann ist:
$\begin{eqnarray*} \int f d\nu = \sum_{i=1}^n \alpha_i \nu(A_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \int \mathbb I_{A_i} f d\mu = \int \sum_{i=1}^n \alpha_i \mathbb I_{A_i} f d\mu = \int f \frac{d\nu}{d\mu}d\mu \end{eqnarray*}$ .

3.Nicht-negative $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ -messbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ :
Zu einer beliebigen nicht- negativen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (u_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ von Funktionen $\begin{eqnarray*} u_n \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_n \uparrow f \end{eqnarray*}$ . Da auch $\begin{eqnarray*} u_n \frac{d\nu}{d\mu} \uparrow f \frac{d\nu}{d\mu} \end{eqnarray*}$ gilt, folgt mit dem Satz von Lebesgue:
$\begin{eqnarray*} \int f d\nu = \lim_{n \to \infty} \int u_n d\nu = \lim_{n \to \infty} \int u_n \frac{d\nu}{d\mu}d\mu = \int f \frac{d\nu}{d\mu} d\mu \end{eqnarray*}$ .

Könnt ihr mir sagen, ob das so in Ordnung geht?
Zudem soll ich noch daraus folgern, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d\nu}{d\alpha} = \frac{d\nu}{d\mu} \frac{d\mu}{d\alpha} \end{eqnarray*}$ ist. Aber wie?

01.11.2011, 19:22

Zündholz

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RE: Eigenschaften von Radon- Nikodym
Hallo,

Zitat:

Original von Megatron
1. Indikatorfkt.: Sei $\begin{eqnarray*} f:= \mathbb I_A \end{eqnarray*}$ . Dann ist:
$\begin{eqnarray*} \int f d\nu = \nu(A) = \int_A f d\mu = \int \mathbb I_A f d\mu = \int f \frac{d\nu}{d\mu}d\mu \end{eqnarray*}$

Naja ganz nachvollziehen kann ich nicht warum das gelten sollte. Zweite Gleichheit würde ja bedeuten nu(A) = mu(A) was sicher i.A. nicht richtig ist.
Was heißt denn nu besitzt eine Dichte zu mu?

Beim zweiten Schritt analoges Problem,
Letzter Schritt ist ok.

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