Satz von Gauss - Anwendung auf ein Geschwindigkeitsfeld

01.11.2011, 20:37

ralfons

Satz von Gauss - Anwendung auf ein Geschwindigkeitsfeld

Meine Frage:
Hi
Ich komme gerade mit einer Aufgabe den Satz von Gauss betreffend nicht weiter.. mag an mangelnder Vorbildung liegen, ich schiebe die Schuld aber auf die grottenschlechte Tutorin.
Aufgabe siehe Bild

Meine Ideen:
Aufgabe a) und b) bekomm ich mir noch selbst zusammengereimt, aber die Erläuterung, die wir zu c) bekommen haben ist wie schon gesagt grauslich.

zu b)
ich würd sagen
$\begin{eqnarray*} \vec{n_{1} x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} <br /> \vec{n_{2} x} = \begin{pmatrix} sinx \\ cosx \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cosy \\ siny \end{pmatrix} <br /> \vec{n_{3} x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wenn man an der unteren berandung (x-achse) beginnt und dann gegen den uhrzeigersinn weitermacht.

nun muss ich diese grenzen irgendwie in das Integral (die Integrale) verwursten, nur habe ich gerade nicht wirklich ne Ahnung wie.
Könnte mir jemand einen Ansatz liefern? Wäre echt dankbar.

01.11.2011, 21:29

Wetal

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RE: Satz von Gauss - Anwendung auf ein Geschwindigkeitsfeld
hi, ich nehme mal an, dass es sich um einen fehler in der aufgabenstellung zu b) handelt, so dass die frage auf $\begin{eqnarray*} \Omega:= K \end{eqnarray*}$ bezogen ist.

soweit ich das sehe sind $\begin{eqnarray*} \vec{ n_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{ n_3} \end{eqnarray*}$ ok, aber das $\begin{eqnarray*} \vec{ n_2} \end{eqnarray*}$ müsste einfach der vektor $\begin{eqnarray*} (x,y)^T \end{eqnarray*}$ sein. (frag bitte nach, falls das nicht klar ist).

um die integrale nun zu berechnen, musst du dir z.b. für

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_1} \vec U \cdot \vec{n_1} \ dS \end{eqnarray*}$

klar machen, was der weg $\begin{eqnarray*} \gamma_1 (t) \end{eqnarray*}$ ist und welche funktionswerte auf diesem weg angenommen werden. falls du mal nicht weiter weißt, können polarkoordinaten helfen.

01.11.2011, 21:50

ralfons1

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RE: Satz von Gauss - Anwendung auf ein Geschwindigkeitsfeld

Zitat:

Original von Wetal
... aber das $\begin{eqnarray*} \vec{ n_2} \end{eqnarray*}$ müsste einfach der vektor $\begin{eqnarray*} (x,y)^T \end{eqnarray*}$ sein. (frag bitte nach, falls das nicht klar ist).

nun, das ist mir in der tat nicht klar.. mit dieser definition des normalenvektors n2 wird ja dann kein viertelkreis beschrieben, oder? sieht mir irgendwie zu allgemein aus.

um die integrale nun zu berechnen, musst du dir z.b. für

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_1} \vec U \cdot \vec{n_1} \ dS \end{eqnarray*}$

klar machen, was der weg $\begin{eqnarray*} \gamma_1 (t) \end{eqnarray*}$ ist und welche funktionswerte auf diesem weg angenommen werden. falls du mal nicht weiter weißt, können polarkoordinaten helfen.[/quote]

auf n1 von (0,0) bis (1,0) nach dx integriert, auf n3 von (0,1) bis (0,0) nach dy integriert.
n2 ist mir da mal wieder unklar.
das integral wird in drei teilintegrale zerlegt, oder? kann ich denn dann n1 und n3 in kartesischen, n2 aber in polarkoordinaten ausdrücken, bzw. würde das sinn machen?

01.11.2011, 23:28

Wetal

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beim kreis zeigt das äußere einheitsnormalenfeld immer nach außen (klar). in deinem beispiel liegt die mitte des viertelkreises im ursprung, also zeigt jeder vektor auf dem halbkreis in die gleiche richtung wie der normalenvektor an dieser stelle. da jeder vektor auf dem viertelkreis bereits normiert ist, entspricht er auch dem äußeren einheitsnormalenfeld.

ja, das integral auf $\begin{eqnarray*} \partial K \end{eqnarray*}$ ist ein wegintegral und lässen sich stückweise berechnen und dann aufsummieren. bevor du dir gedanken darüber machst, wo du welche koordinaten brauchst, rechne doch aus was für alle

$\begin{eqnarray*} \vec U \cdot \vec{ n_i} \end{eqnarray*}$ rauskommt

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