Beweis gleicher Lösungsmengen

01.11.2011, 20:41	(B)=(B')	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis gleicher Lösungsmengen Meine Frage: Meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass daslineare Gleichungssystem (B) und (B') die gleiche LÖsungsmengen haben. (B)=beliebiges lineares Gleichungssystem über einem Körper K (B')= entsteht durch Addition der y-Fachen der j-ten Gleichung zur i-ten Gleichung i ungleich j und y elemnt K Meine Ideen: Ich weiß leider gar nicht wie ich anfangen soll ich habe schon schwirigkeiten ein allgemeines gleichungssystem aufzuschrieben. Kann mir jemand helfen?
04.11.2011, 07:58	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis gleicher Lösungsmengen Also: Deine Aufgabe mal etwas deutlicher: Sei dein (m,n)-LGS gegeben durch $\begin{eqnarray} A\cdot(x_j)=(s_i) \end{eqnarray}$ . Und eine Matrix $\begin{eqnarray} Q\in GL_m(K) \end{eqnarray}$ (Matrix deiner Zeilenumformungen). Setze $\begin{eqnarray} \widetilde{A}:=Q\cdot A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \widetilde{s}:=Q\cdot (s_i) \end{eqnarray}$ Dannn ist das Ausgagnssystem $\begin{eqnarray} A\cdot(x_j)=(s_i) \end{eqnarray}$ zum (m,n)-LGS $\begin{eqnarray} \widetilde{A}\cdot(x_j)=(s_i) \end{eqnarray}$ äquivalent (d.h. haben selben Lösungsraum, bzw. Lösungsmenge) der Beweis hierzu: Sei $\begin{eqnarray} (l_j) \end{eqnarray}$ Lösung von $\begin{eqnarray} A\cdot(x_j)=(s_i) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} A\cdot (l_j)=(s_i) \end{eqnarray}$ . Multiplikation mit $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ von links ergibt: $\begin{eqnarray} Q\cdot A\cdot(l_j)=Q\cdot(s_i) \end{eqnarray}$ was nichts anderes ist als $\begin{eqnarray} \widetilde{A}\cdot(l_j)=(\widetilde{s}_i) \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} (l_j) \end{eqnarray}$ ist auch eine Lösung des zweiten LGS. (eigentlich fertig) der vollständigkeit halber: Multiplkation von $\begin{eqnarray} Q^{-1} \end{eqnarray}$ von links zeigt, dass jede lösung des zweiten LGS auch lösung des ersten lgs ist. vl. noch ne kleine Nebeninfo ad Matrix der Zeilenumformungen: Das ist einfach eine Matrix die du erhältst wenn du $\begin{eqnarray} E\|A \end{eqnarray}$ hinschreibst und dann alle umformungen die die bei A machst auch bei E(=Einheitsmatrix mit selben Zeilengröße von A) machst. hoffe das hilft

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