Injektivität beweisen

01.11.2011, 20:46

habuk

Injektivität beweisen

Meine Frage:
Guten Abend,

Ich soll beweisen ob eine Funktion injektiv ist oder nicht.

$\begin{eqnarray*} k: ]1,\infty [ \Rightarrow \mathbb R , x\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$
Wenn man sich die Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ anguckt, sieht man sofort, dass diese nicht injektiv ist.
Jedoch im angegebenen Intervall ist die Funktion Injektiv.

Um zu beweisen muss ich normaler Weise ja so vor gehen:

$\begin{eqnarray*} \exists x1,x2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x1 \neq x2 \end{eqnarray*}$ für die gilt k(x1) = k(x2)

Dann die Funktion einsetzen und gucken ob x1 = x2 oder ob $\begin{eqnarray*} x1 \neq x2 \end{eqnarray*}$

Doch wie bringe ich in die Rechnung mein Intervall mit rein, weil ohne Intervall ist die Funktion ja nicht injektiv?
Und wie genau mache ich das mit dem einsetzen bei dieser Funktion, ich stehe da irgendwie aufm Schlauch.

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Schönen Abend!

Meine Ideen:
siehe oben

01.11.2011, 21:07

Helferlein

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In der Rechnung taucht das Intervall zunächst nicht auf.
Du setzt zwei Bilder gleich und schaust, welche Urbilder sich daraus ergeben. Dann erst kommt die Definitionsmenge ins Spiel.

02.11.2011, 16:47

habuk

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Vielleicht kann mir das jemand mal an der Funktion zeigen, weil ich komme da echt nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich das nach x1=x2 auflösen kann wenn ich die Funktionen gleich setze. verwirrt

02.11.2011, 17:01

Mulder

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Gleichsetzen liefert zunächst

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+\frac{1}{1-x} = \frac{1}{y}+\frac{1}{1-y} \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten auf einen Nenner bringen, dann die Nenner vergleichen. Dann würde ich alles auf eine Seite bringen (also blablabla=0) und faktoriseren. Dann kommt man mit etwas Überlegen zum Ziel.

02.11.2011, 17:22

Gast11022013

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Ich steh' dann bei

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-x^2}=\frac{1}{y-y^2} \end{eqnarray*}$

Wie macht man weiter?

02.11.2011, 17:25

Mulder

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Hab ich doch geschrieben:

Zitat:

Original von Mulder
[...] dann die Nenner vergleichen. Dann würde ich alles auf eine Seite bringen (also blablabla=0) und faktoriseren.

Oder ist daran was unklar? Mit "vergleichen" meine ich natürlich gleichsetzen. Wenn 1/a=1/b ist, muss ja zwangsläufig auch a=b gelten.

Ich möchte aber daran erinnern, dass das habuks Aufgabe ist und wir hier ja keine Komplettlösungen hinknallen wollen.