P innerer Punkt im Dreieck: AP+BP+CP > 0,5 Umfang

01.11.2011, 22:14	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
P innerer Punkt im Dreieck: AP+BP+CP > 0,5 Umfang Das gibt es nicht. Ich grüble schon Stunden über folgender Aufgabe aus der elementaren Geometrie Sei $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ innerer Punkt des Dreiecks $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \overline{AP} + \overline{BP} + \overline{CP} > \frac{1}{2} U \end{eqnarray}$ . Die Aufgabe beginnt mit der Dreiecksungleichung und ich versuche sie auch ohne weitere Sätze zu lösen. Geht das? Mein Ansatz war jetzt die Verlängerung der Strecke $\begin{eqnarray} [AP] \end{eqnarray}$ auf die gegenüberliegende Seite. Aber auch aus den so entstehenden Dreiecken entnehme ich keine sinnvollen Informationen. Da seh ich irgendwie nur Bäume... edit: Mir hat es bisher auch nichts gebracht, wenn ich O.B.d.A. den Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ "günstig" gelegt habe (bzw. entsprechend die Seiten gewählt habe), sodass der Abstand $\begin{eqnarray} \overline{AP} \end{eqnarray}$ oder die Seitenlänge $\begin{eqnarray} \overline{AB} \end{eqnarray}$ die größte/kleinste Strecke wird und man entsprechende Abschätzungen hat. Ich bin mir fast sicher irgendwas übersehen zu haben...
01.11.2011, 22:58	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray} \overline {AP}+\overline {BP}>\overline {AB} <br /> \end{eqnarray}$ ebenfalls für die Seiten BC und AC aufstellen und dann alle drei Ungleichungen addieren.
02.11.2011, 06:24	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn das ein einfacher und (jetzt, wo ich ihn weiß) offensichtlicher Ansatz ist, halte ich ihn für genial nach all dem was ich ausprobiert habe. Das führt direkt zur gesuchten Ungleichung. Vielen Dank, Opi!

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