Tangente an eine Kurve legen |
| 01.11.2011, 22:49 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Tangente an eine Kurve legen ich stehe bei folgender Aufgabe auf dem Schlauch und würde mich über Tipps freuen. An die Funktion f:x->x ^3 ist im Punkt P ( 1/1) die Tangente an die Kurve zu legen. Ich habe als erstes die Funktion gezeichnet aber woher weis ich jetzt,an welchem zweiten Punkt die Tangente die Funktion erneut schneidet?Ich habe ja gar keine Steigung der Tangente!) Danke für eure Hilfe !!! 
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| 01.11.2011, 23:13 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eben diese Steigung kannst du berechnen! Tipp: Differentialrechnung (Ableitung)! mY+ |
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| 02.11.2011, 00:16 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also berechne ich die Ableitung von y=x^3 ? Das wäre dann f':X--> 3x^2 aber wie geht es dann weiter?Jetzt müsste ich ja irgendwie die Ableitung mit dem Punkt ( 1/1) verbinden oder? |
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| 02.11.2011, 08:11 | blutorange5K | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Ableitung ist f'(x)=3x^2. Also ist die Ableitung bei x=1 f'(1)=? Jetzt hast du also die Steigung der Tangente und außerdem weißt du, die Tangente muss durch den Punkt (1|1) gehen. y=m*x+n ist die Gleichung der Geraden, du kennst m, und x,y in dem einen Punkt. Also ist n=? |
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| 02.11.2011, 10:28 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist f'(1)= 3 mal 1^2 = 3 y = mx+n 1=3x+n n=1-3x !? |
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| 02.11.2011, 10:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch welchen Punkt mußt denn die Gerade (Tangente) laufen? Setze die Koordinaten in die Geradengleichung y = mx+n ein. |
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| 02.11.2011, 13:19 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da eine Schnittpunkt bei (1/1) ist und die Ableitung/Steigung der Geraden 3x^2 beträgt, gilt doch für die Gerade die Gleichung 1=3 mal 1 ^2 + b !? Ich würde jetzt die Geradengleichung mit der Funktion gleichsetzen, dann würde x^3 = 3 mal 1^2 + b aber was passiert mit dem b!? Ich stehe wirklich total auf dem Schlauch,ich denke bestimmt zu kompliziert.... |
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| 02.11.2011, 13:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso 1² ? Wenn ich den Punkt in y = mx+n einsetze, steht was anderes da. |
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| 02.11.2011, 14:29 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok,dann gilt für den punkt (1/1) 1= m 1 + n oder? Aber wie bringe ich dann die steigung/ ableitung von X^3 unter? Das ist doch zugleich die steigung der tangente oder? |
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| 02.11.2011, 14:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig.
Auch richtig. Und die Steigung hast du - man erinnere sich - schon mit m=3 ausgerechnet. 
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| 02.11.2011, 14:49 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok also: der punkt p (1/1) hat die steigung x^3, die ableitung davon ist doch 3*x^2. Dann ist die ableitung Doch meine steigung m oder? |
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| 02.11.2011, 14:54 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso,das heißt,dass die steigung vom f':x= 3*x^2 gleich 3 ist. Also gilt dann x^3=3*x+ n für den zweiten punkt?mir ist klar,dass die werte für den Zweiten schnittpunkt bei funktion und tangente gleich sein müßen.aber was ist dann mit dem y- achsenabschnitt n? |
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| 02.11.2011, 15:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vorsicht mit deinen Formulierungen. Ein Punkt hat keine Steigung. Allenfalls hat eine Funktion an einem Punkt eine bestimmte Steigung. In diesem Fall hat die Funktion im Punkt (1; 1) die Steigung m=3. Wenn ich das richtig verstehe, suchst du nun einen weiteren Punkt, wo sich Funktion und Tangente schneiden. Dazu solltest du (endlich mal) die Geradengleichung der Tangenten hinschreiben. |
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| 02.11.2011, 23:05 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Gleichung ist dann : 1= 3 * 1 + n demnach ist n = -2 dann gilt y= 3x-2 Das müßte ich jetzt doch dann mit der Funktion y=x^3 gleichsetzen und durch die pq-Formel die Schnittpunkte ausrechnen oder? |
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| 02.11.2011, 23:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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Die Gleichung der Geraden haben wir endlich. Die p-q - Formel kann zunächst noch nicht Anwendung finden, denn die erhaltene Gleichung ist vom Grad 3. Allerdings kennen wir bereits eine ihrer Lösungen (welche?). Und wie stellst du es nun an, dass du davon ausgehend auf eine quadratische Gleichung kommst? Nur dann kann nämlich die p-q -Formel angewandt werden. mY+ |
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| 03.11.2011, 01:41 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
indem ich die ableitung von x^3 verwende, also 3x^2=3x-2 3x^2-3x+2=0 / :3 x^2- 3/2 x + 2/3 = 0 usw .... oder? |
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| 03.11.2011, 01:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nö, das ist Quark. Wie willst du das ausserdem begründen? Du sollst doch die Schnittpunkte der Geraden (Tangente) mit der Kurve berechnen, was soll dabei die Ableitung?? mY+ --> |
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| 03.11.2011, 10:08 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x^3+3x-2 entweder versuche ich es durch polynomdivision oder linerar faktorzerlegung....... ich habe langsam echt keine ahnung mehr.... |
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| 03.11.2011, 10:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Polynomdivision ist das richtige Stichwort und eine Nullstelle von dem Polynom kennst du ja. Übrigens heißt es x^3-3x+2. Auch Abschreiben will gelernt sein.
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| 03.11.2011, 10:45 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch Polynomdivision bekomme ich jetzt x^2+x-1 raus und durch einsetzen in die pq-formel komme ich auf x1= 1,75 und x2=-2,75 jetzt müßte ich doch nur noch die werte entweder in die formel der funktion oder der tangente einsetzen um den y-wert zu bestimmen oder? |
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| 03.11.2011, 11:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß ja nicht, was du gerechnet hast, aber offensichtlich ist . |
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| 03.11.2011, 14:39 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry!!! Habe mich verschrieben.Durch polynomdivision Kommt. X^2+x-2 raus. 
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| 03.11.2011, 14:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie man leicht nachrechnet, passen jetzt deine Nullstellen nicht. |
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| 03.11.2011, 14:49 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich aber x^2+x-2 in die pq formel einsetze kommt x1= 1 und x2= -2 raus.setze ich dann -2 in die tangentengleichung ein,kommt für y2= -8. Das ist doch dann der zweite punkt mit (-2/-8) oder? 
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| 03.11.2011, 14:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist richtig. Im Beitrag von 10:45 hattest du aber andere Nullstellen genannt. Und so sieht das aus: |
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| 03.11.2011, 15:09 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank,
ihr seit einfach spitze !!!Echt klasse das forum, hilfe zur selbsthilfe und Es klappt. |
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| 03.11.2011, 15:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da der Punkt mit der Koordinate x = 1 sogar ein Berührungspunkt (und nicht nur ein gewöhnlicher Schnittpunkt) ist, sind sogar 2 Lösungen bekannt, nämlich x1,2 = 1, also eine Doppellösung. Wir suchen also nur noch eine (die restliche) Lösung. Somit kann die Polynomdivision auch durch erfolgen, diese liefert direkt (x + 2). Dazu wird keine quadratische Gleichung mehr benötigt. mY+ |
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