Binomialverteilung

02.11.2011, 10:23

loyloep

Binomialverteilung

Eine Münze mit P(Kopf) = p, 0 < p < 1, wird immer wieder geworfen. Sei $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten n Würfen Kopf gerade oft erscheint. Zeigen Sie die Rekursion $\begin{eqnarray*} p_n = p(1-p_{n-1}) + (1-p)p_{n-1} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p_0=1 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie daraus $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ).

Wie fängt man denn hier am geschicktesten an.

02.11.2011, 10:36

Math1986

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RE: Binomialverteilung
Hi,
$\begin{eqnarray*} p_0=1 \end{eqnarray*}$ ist klar, oder?

Dann betrachte jetzt mal $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ und mache eine Fallunterscheidung nach dem n-ten Wurf:
Mit Wahrscheinlichkeit p ist dies Kopf.

Dann kannst du überlegen, wie du das die vorherigen (n-1)- Würfe einbringst.

02.11.2011, 11:26

loyloep

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RE: Binomialverteilung

Zitat:

Original von Math1986

$\begin{eqnarray*} p_0=1 \end{eqnarray*}$ ist klar, oder?

Nein es ist nicht klar warum $\begin{eqnarray*} p_0=1 \end{eqnarray*}$ sein soll.

Zitat:

Original von Math1986
Dann betrachte jetzt mal $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ und mache eine Fallunterscheidung nach dem n-ten Wurf:
Mit Wahrscheinlichkeit p ist dies Kopf.

Das mit der Fallunterscheidung verstehe ich auch nicht.

02.11.2011, 11:30

Math1986

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RE: Binomialverteilung

Zitat:

Original von loyloep
Nein es ist nicht klar warum $\begin{eqnarray*} p_0=1 \end{eqnarray*}$ sein soll.

$\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnet doch die Wahrscheinlichkeit, bei 0 Würfen eine gerade Anzahl Kopf zu werfen.
Das ist klar, weil du ja auch 0mal Kopf wirfst und 0 gerade ist.

Zitat:

Original von loyloep
Das mit der Fallunterscheidung verstehe ich auch nicht.

Was genau?
Nehmen wir an, der n-te Wurf sei Kopf, und die Gesamtzahl aller Würfe soll gerade sein.
Was muss dann für die Anzahl gerader Würfe in den n-1 vorangegangener Würfe gelten?

02.11.2011, 11:38

loyloep

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RE: Binomialverteilung

Zitat:

Original von Math1986
Nehmen wir an, der n-te Wurf sei Kopf, und die Gesamtzahl aller Würfe soll gerade sein.
Was muss dann für die Anzahl gerader Würfe in den n-1 vorangegangener Würfe gelten?

Das heißt ich mache eine Fallunterscheidung danach, dass der n-te Wurf einmal Kopf ist und einmal Zahl ist. Mit dem Wunsch, dass die Anzahl, dass in n Würfen Kopf geworfen wurde, gerade ist. Dann ist im Fall, dass der n-te Wurf Kopf ist, die Anzahl in den vorgehenden (n-1) Würfen Kopf geworfen wurde ungerade, und in dem Fall, dass der n-te Wurf Zahl ist, die Anzahl der vorgehenden (n-1)-Würfe gerade.

02.11.2011, 11:40

Math1986

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RE: Binomialverteilung

Zitat:

Original von loyloep
Das heißt ich mache eine Fallunterscheidung danach, dass der n-te Wurf einmal Kopf ist und einmal Zahl ist. Mit dem Wunsch, dass die Anzahl, dass in n Würfen Kopf geworfen wurde, gerade ist. Dann ist im Fall, dass der n-te Wurf Kopf ist, die Anzahl in den vorgehenden (n-1) Würfen Kopf geworfen wurde ungerade, und in dem Fall, dass der n-te Wurf Zahl ist, die Anzahl der vorgehenden (n-1)-Würfe gerade.

Ja. Damit hast du auch schon deine Rekursionsvorschrift.
Nun musst du das nur noch als Formel ausdrücken.

02.11.2011, 11:47

loyloep

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RE: Binomialverteilung

Zitat:

Original von Math1986
Damit hast du auch schon deine Rekursionsvorschrift.
Nun musst du das nur noch als Formel ausdrücken.

Das wäre auch schon meine nächste Frage. Wie geht das?

02.11.2011, 11:50

Math1986

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RE: Binomialverteilung

Zitat:

Original von loyloep
Das wäre auch schon meine nächste Frage. Wie geht das?

Beschäftige dich doch einfach mal ein wenig mit den Formeln, ich werde hier nicht alles vorrechnen.
Fall 1:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der n-te Wurf gerade ist?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der n-1 Würfe vorher ungerade ist?

Selbe Rechnung für Fall 2. Punkt.

Mehr sage ich dazu nicht.

02.11.2011, 12:25

loyloep

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Wegen der 2 Fälle erhalte ich vier Wahrscheinlichkeitsformeln:

$\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ : W-keit, dass der n-te Wurf gerade ist

$\begin{eqnarray*} 1-p_{n-1} \end{eqnarray*}$ : W-keit, dass der (n-1)-te Wurfe ungerade ist

$\begin{eqnarray*} 1-p_n \end{eqnarray*}$ : W-keit, dass der n-te Wurf ungerade ist

$\begin{eqnarray*} p_{n-1} \end{eqnarray*}$ : W-keit, dass der (n-1)-te Wurf gerade ist.

02.11.2011, 14:39

Math1986

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Ja, soweit richtig, und damit kommst du direkt auf die oben angegebene Gleichung.

Vorrechnen werde ich das aber nicht.

03.11.2011, 16:21

loyloep

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Danke für Eure Hilfe!

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