Gruppen

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DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen
Meine Frage:
Guten Tag,
ich sitze gerade an folgender Aufgabe, aber verstehe einfach die Aufgabenstellung nicht:

Es sei (G;*) eine endliche Gruppe mit neutralem Element 1G.
a) Sei G = {1; 2; 3}. Wie viele * : G x G -> G gibt es, so dass (G;*) Gruppe ist? (Die Antwort ist zu beweisen.)


Meine Ideen:
Bin über jeden Ansatz dankbar smile
Vielen Dank
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen
Was ist dir denn an der Aufgabenstellung unklar?
Gegeben ist .
Du sollst hierrauf Verknüpfungen angeben, so das eine Gruppe ist ( sei neutrales Element).
Dazu verwendest du am besten Verknüpfungstafeln.

Wie eine Gruppe definiert ist ist klar, oder?
Wenn nicht, dann schlage es bitte nach.
Definitionen nachschlagen

PS: Nächstes Mal bitte Latex verwenden, hier gibt es schon C&P Fehler.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was eine Gruppe ist, ist mir klar!
Aber ich verstehe nicht ganz, was für verknüpfungen ich angeben soll.
mit der Verknüpfung + wäre es ja keine Gruppe, da ja beispielsweise kein neutrales Element existiert, da ja 0 kein Element von G ist, oder?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst einfach selbst eine Verknüpfung definieren, die mit den Gruppen-Axiomen verträglich ist.
'+' wäre hier in der Tat keine verträgliche Verknüpfung.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe mir jetzt mal ein paar wahrheitstafeln angeschaut.
Das Prinzip ist ja logisch, jedoch verstehe ich immer noch nicht ganz, wie ich diese Verknüppfungen definieren soll, wo ich anfangen und aufhören soll Big Laugh
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt mal versucht das allgemein durchzuspielen.
Bin auf eine einzige Lösung gekommen für die Verknüpfungstafel:
e= neutr. Element
a,b in G:

* e a b
e e b e
a a b e
b b e a

Also gilt: a*a=b; b*b=a, etc.
Aber wie komme ich jetzt auf die passende Verknüpgung für G={1,2,3}?
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist richtig, dass es nur eine Lösung gibt.

Zitat:
Original von DudiPupan
Aber wie komme ich jetzt auf die passende Verknüpgung für G={1,2,3}?

Indem du einfach die Elemente geeignet umbenennst.

1 ist das neutrale Element, also 1=e.
Du kannst jetzt auch sagen, dass a=2 und b=3 (oder andersrum).

Wie du die Elemente nun bezeichnest, ist ja für die Gruppeneigenschaften gleichgültig.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber dadurch komme ich ja noch nicht auf die Verknüpfung!
Dann hab ich ja nur:
1*1=1
1*2=2
1*3=3
2*3=1
2*2=3
und
3*3=2
Aber ich muss ja noch eine Verknüpfung herausfinden, für die das alles erfüllt ist, oder nicht?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DudiPupan
Ja, aber dadurch komme ich ja noch nicht auf die Verknüpfung!
Dann hab ich ja nur:
(...)
Aber ich muss ja noch eine Verknüpfung herausfinden, für die das alles erfüllt ist, oder nicht?
Wo genau liegt das Problem? verwirrt
Die Verknüpfung, die du angegeben hast, ist doch vollkommen korrekt.
Ich sehe gerade echt nicht wo du da ein Problem siehst.
Ob du die Verknüpfung auf {a,b,c} oder auf {1,2,3} definierst ist doch egal, wiso sollte es in dem einen Fall klar sein und in dem anderen nicht? geschockt
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte ich muss das noch anders aufschreiben. Also eine allgmeingültige Verknüpfung, wie z.B. * := a+b mod 4
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DudiPupan
Ich dachte ich muss das noch anders aufschreiben. Also eine allgmeingültige Verknüpfung, wie z.B. * := a+b mod 4
Du kannst die Verknüpfung durch die Verknüpfungstafel angeben, dann ist es eindeutig.
Die Verknüpfung muss ja nicht allgemeingültig sein, sondern sich nur auf {1,2,3} beziehen.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich kann das einfach so stehen lassen?
und dann eben noch begründen, warum nur ein * existiert?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DudiPupan
Das heißt ich kann das einfach so stehen lassen?
Ja

Zitat:
Original von DudiPupan
und dann eben noch begründen, warum nur ein * existiert?
Ja, das müsstest du noch begründen.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Und bei der Teilaufgabe b), die wie folgt lautet:
b) Sei nun G abelsch. Zeigen Sie: Es gilt: das neutrale Element 1 ist das Produkt
aller Elemente von G, x² := x *x fur x in 2 G.)

Wie kann G abelsch sein? G ist doch nur die Menge {1,2,3}. Diese kann doch nicht abelsch sein, oder?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DudiPupan
Und bei der Teilaufgabe b), die wie folgt lautet:
b) Sei nun G abelsch. Zeigen Sie: Es gilt: das neutrale Element 1 ist das Produkt
aller Elemente von G, x² := x *x fur x in 2 G.)
Bitte beachte
Wie kann man Formeln schreiben?
So kann ich das nicht lesen unglücklich
Zitat:
Original von DudiPupan
Wie kann G abelsch sein? G ist doch nur die Menge {1,2,3}. Diese kann doch nicht abelsch sein, oder?
Eine Menge kann nicht abelsch sein, damit ist die verknüpfung gemeint.
G ist übrigens nicht mehr {1,2,3}, das galt nur für Aufgabe a).
Aufgabenstellung genauer lesen!
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich bin etwas schreibfaul, was Latex angeht. Aber werde es ab jetzt benutzen!
ist das Produkt aller Elemente von G, für .

Wie gehe ich das an?
kosa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen
hey,

ich habe ein ähnliches Bsp wie du bekommen.. hast du für deine teilaufgabe b jetzt schon einen Ansatz?
ich weiß nämlich leider auch nicht, wie ich sowas angehen soll.. :-/

bitte um ein wenig hilfe smile
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, habe leider auch noch keinen Ansatz! :-/
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass Du vergessen hast zu erwähnen, dass die Gruppe abelsch und endlich ist?
Klassi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gruppe soll abelsch und endlich sein. Hab die Aufgabe letztens noch auf irgendeinem Algebra-Blatt gesehen. Denkt an die Involutionen!

Gruß
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, G ist abelsch und endlich, sorry, das steht im Beitrag davor!
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich glaube ich habs:

Wie haben die endliche, abelsche Gruppe G mit

Dann ist
Da abelsch:

also einfach geordnet, immer mit der Inversen zusammen!
Und daraus ergibt sich dann:


Passt das so?
Klassi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Sieht schonmal ok aus. Ist dir klar wieso du das Quadrat von jedem Element brauchst? Oder anders:

Ist auch [latex]1_G = \prod_{g\in G}g[\latex] wahr?

Gruß
Klassi Auf diesen Beitrag antworten »

DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, das hat damit zu tun, ob die Anzahl der Elemente von G gerade oder ungerade ist, oder?
Klassi Auf diesen Beitrag antworten »

Können wir mit Sicherheit sagen, dass mit auch in diesem Produkt auftaucht?
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht damit zu begrünen, dass (G,*) eine abelsche Gruppe ist und somit jedes Element auch ein Inverses Element in G haben muus?
Klassi Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm da fehlt noch was. In Mengen werden ja doppelte Elemente nicht 2 mal genannt.

Schau dir mal die Sym(2) = {id,(1,2)}. Sie ist abelsch und endlich. id=identische Abbildung ist das neutrale Element.

Dann ist das Produkt (hier die Verknüpfung von Abbildungen)

Was geht hier schief? Was ist ?

Gruß
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

oder?
Also kann es vorkommen, dass ist und somit muss mann durch das Produkt aller Quadrate sicherstellen, dass selbst wenn die Inverse zu einem Element gleich das selbe Element ist dieses Element 2 mal auftritt, was eben durch das Quadrat erfüllt wird?
Oder bin ich auf dem Holzweg?
Klassi Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! smile Es können sogenannte Involutionen auftreten (Elemente der Ordnung 2 / Elemente die Selbstinvers sind). Es gibt noch eine andere Aufgabe, welche voraussetzt, dass es nur EIN selbstinverses Element ungleich e gibt. Dann wäre das Produkt über alle Gruppenelemente (ohne Quadrat) genau dieses selbstinverse Element.

Aber das nur so am Rande. smile

Gruß
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank für die Erklärung!
Hat mir wirklich sehr weitergeholfen!
Liebe Grüße
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