Vereinigung/Schnitt von Potenzmengen

02.11.2011, 14:16	tmeier	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung/Schnitt von Potenzmengen Meine Frage: In den Begleitaufgaben zum LADS-Kurs ist die Aufgabe: Seien X,M,N Mengen, $\begin{eqnarray} N,M\subseteq X \end{eqnarray}$ Beweisen oder widerlegen Sie folgende Gleichungen $\begin{eqnarray} <br /> P(N)\cap P(M)= P(M\cap N)<br /> P(N)\cup P(M)= P(M\cup N) \end{eqnarray}$ Wie muss ich da heran gehen? Meine Ideen: Ich hab in den bisherigen Definitionen noch nichts passendes zum Beweis/Widerspruchsbeweis hiervon gefunden. Ich muss ja quasi beweisen dass eine Seite der Gleichung Teilmenge der anderen ist und umgekehrt?
02.11.2011, 14:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige die Identität mit Hilfe zweier Mengeninklusionen.
02.11.2011, 14:34	tmeier	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} (P(N)\cap P(M))\subseteq P(N\cap M) <br /> <br /> P(N\cap M)\subseteq (P(N)\cap P(M)) \end{eqnarray}$ Keine Ahnung wie ich das allgemein mache. Vielleicht kenn ich einfach noch nich genug Definitionen für die Aufgabe.
02.11.2011, 14:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja diese beiden Inklusionen mußt Du zeigen. 1.) Sei $\begin{eqnarray} x\in \mathcal{P}(N)\cap \mathcal{P}(M) \end{eqnarray}$ beliebig. Zeige, daß auch $\begin{eqnarray} x\in \mathcal{P}(M\cap N) \end{eqnarray}$ . Dafür brauchst Du eigentlich nur die Definition von Potenzmenge und vom Mengenschnitt. 2.) andere Richtung
02.11.2011, 16:06	tmeier	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut dann hab ich da ja sowas stehen wie $\begin{eqnarray} x\in \left\{ Q\|Q\subseteq N\right\} \wedge x\in \left\{ Y\|Y\subseteq M\right\} <br /> <br /> X\in \left\{ Z\|Z\subseteq M\wedge Z\subseteq N\right\} \end{eqnarray}$
02.11.2011, 16:13	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die Definitionen der Begrifflichkeiten, die Du verwendest, das stimmt. Aber wichtiger sind die Folgerungen, die man daraus trifft. ------------------------------------------- Ich zeige mal die Hin-Richtung, also " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ": Sei also $\begin{eqnarray} x\in\mathcal{P}(N)\cap \mathcal{P}(M) \end{eqnarray}$ beliebig. $\begin{eqnarray} \Rightarrow x\in \mathcal{P}(N)\wedge x\in \mathcal{P}(M) \end{eqnarray}$ Das bedeutet: $\begin{eqnarray} x\subseteq N\wedge x\subseteq M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x\subseteq N\cap M\Rightarrow x\in\mathcal{P}(N\cap M) \end{eqnarray}$
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02.11.2011, 16:38	tmeier	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das hab ich jetzt auch schon für beide richtungen gemacht. danke für die hilfe!
02.11.2011, 16:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »

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