KgV * GgT = Zahl

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02.11.2011, 15:55	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
*KgV GgT = Zahl** Hallo, ich habe mich gefragt, wie man die Behauptung $\begin{eqnarray} KT(Z) GT(Z) = Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit KT(Z) dem kleinsten Teiler einer Zahl (außer die 1) und GT(Z) dem größsten Teiler einer Zahl (außer die Zahl selbst) beweisen kann. z.B. Teiler(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} => KT(12)=2; GT(12)=6 => 26=12 Ich kenne nur den Zusammenhang zwischen ggT(p,q) und kgV(p,q) . Aus denen kann ich aber die Formeln für KT(Z) und GT(Z), sofern es welche gibt, nicht ableiten. Gruß blackdrake
02.11.2011, 17:11	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib die Primfaktorzerlegung von Z hin. Ausgehend davon kannst Du KT und GT relativ leicht hinschreiben und die Aussage folgt sofort.
08.11.2011, 14:52	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis. Dass es so einfach ist, dachte ich nicht. Der kleinste Teiler ist das kleinstmögliche Produkt aus den Elementen der Primfaktorzerlegung, somit immer das kleinste Element aus den Primfaktoren. Der größte Teiler ist das größtmögliche Produkt aus den Elementen der Primfaktorzerlegung (außer die Zahl selbst) und somit alle Faktoren multipliziert außer dem kleinsten. Das Produkt aus kleinstem und größten Teiler ergibt damit das Produkt der kompletten Primfaktorzerlegung und damit die Zahl selbst. Man kann dann auch den drittkleinsten (n-größten) Teiler mit dem drittgrößten (n-größten) Teiler multiplizieren, um die Zahl rauszubekommen. Ich habe noch eine verwandte Frage zu der Anzahl der Teiler. Ich habe die Vermutung, dass folgendes gilt: Quadratzahl(z) <=> Ungerade(AnzahlTeiler(z)) sowie NichtQuadratzahl(z) <=> Gerade(AnzahlTeiler(z)) . Bei der Iteration der Zahlen 1..10000 war die Vermutung bestätigt. Der Beweis scheint allerdings schwierig zu sein, oder? Gruß blackdrake
08.11.2011, 16:02	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum ersten: Ja. Zu Deiner Vermutung: Auch die Aussage lässt sich leicht über Primfaktorzerlegung zeigen. Sei $\begin{eqnarray} z= p_1^{e_1}\ldots p_r^{e_r} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ verschiedene Primzahlen, $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ positive natürliche Zahlen sind . Die Anzahl der Teiler von z lässt sich mittels der $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ berechnen. Außerdem kann man an diesen erkennen ob z Quadratzahl ist oder nicht.
09.11.2011, 14:41	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Mh, da bin ich noch nicht dahintergestiegen. Ich habe lediglich folgende Vermutung: z = p_1 ^ e_1 * ............ * p_n ^ e_n SUMME(e_1...e_n) := E E \| 2 <=> Quadratzahl(z) Und das würde im Moment nur mal den Zusammenhang zwischen E und der Aussage ob z eine Quadratzahl ist oder nicht zeigen, aber nicht die Anzahl der Teiler. Den Beweis für meine Vermutung konnte ich bis jetzt nur durch den trivialen Fall erbringen: 1) Wenn p eine Primzahl => $\begin{eqnarray} p = {p_1}^{e_1} \end{eqnarray}$ 2) Wenn E \| 2 => $\begin{eqnarray} p = {p_1}^{E/2} {p_1}^{E/2} = {({p_1}^{E/2})}^2 \end{eqnarray}$ => Quadratzahl(p) 3) Wenn NICHT E \| 2 => $\begin{eqnarray} p = {p_1}^{e_1} * {p_1}^{e_2} \end{eqnarray*}$ => NichtQuadratzahl(p) Gruß blackdrake
09.11.2011, 14:46	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier eher um folgende Berechnungsformel: Die Zahl $\begin{eqnarray} z= p_1^{e_1}\cdot \ldots \cdot p_r^{e_r} \end{eqnarray}$ hat genau $\begin{eqnarray} d(z) = (e_1+1)(e_2+1)\cdot \ldots \cdot (e_r+1) \end{eqnarray}$ positive Teiler. Damit kann $\begin{eqnarray} d(z) \end{eqnarray}$ dann und nur dann ungerade sein, wenn alle Faktoren $\begin{eqnarray} e_k+1 \end{eqnarray}$ ungerade sind...
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01.01.2012, 10:08	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme einfach nicht dahinter. Und den zusammenhang zur theorie kann ich auch nicht finden.
01.01.2012, 12:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist Dir denn an Renes Aussage unklar? Er hat doch schon geschrieben, dass d(z) die Anzahl der Teiler von z ist und genau dann ungerade ist, wenn alle $\begin{eqnarray} e_j+1 \end{eqnarray}$ ungerade sind (also alle $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ gerade). Mit dieser Erkenntnis schaust Du Dir die Primfaktorzerlegung an und schon hast Du alles, was Du brauchst.
02.01.2012, 09:49	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Die formel ist mir klar, aber ich kann daraus nicht ableiten: Quadratzahl(z) <=> Ungerade(AnzahlTeiler(z)) sowie NichtQuadratzahl(z) <=> Gerade(AnzahlTeiler(z))
02.01.2012, 10:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist in einem Produkt ganzer Zahlen auch nur ein Faktor gerade, dann ist das Produkt gerade. Sind in einem Produkt ganzer Zahlen alle Faktoren ungerade, so ist das Produkt ungerade. Ich würde allerdings einen andern Weg vorschlagen: Jeder Teiler $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ besitzt einen Komplementärteiler $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Das bedeutet, daß das Teilerprodukt gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} ab=n \end{eqnarray}$ . Jetzt bilde alle Paare $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ von Komplementärteilern mit $\begin{eqnarray} a \leq b \end{eqnarray}$ . Beispiel: $\begin{eqnarray} n = 84 \end{eqnarray}$ Teiler: $\begin{eqnarray} 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84 \end{eqnarray}$ Paarbildung (Ziehharmonika): $\begin{eqnarray} (1,84), (2,42), (3,28), (4,21), (6,14), (7,12) \end{eqnarray}$ Und wie ist das nun bei Quadratzahlen? Und was soll das oben mit dem "kleinsten" Teiler? Geht es nicht um das kleinste gemeinsame Vielfache?

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