Brownsche Bewegung

02.11.2011, 17:11	PeterDl.	Auf diesen Beitrag antworten »
Brownsche Bewegung Ich habe eine Brownsche Bewegung - also einen reellwertigen Prozess - und sol zeigen, dass es eine hölder-stetige Modifikation gibt. Nach Kolmogorov-Chentsov gibt es dann eine solche Modifikation, wenn folgendes gilt: Sei $\begin{eqnarray} X = (X_t,t\in[0,\infty)) \end{eqnarray}$ ein reellwertiger Prozess. Für jedes T > = gebe es Zahlen $\begin{eqnarray} \alpha,~\beta,~C > 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E[\|X_t-X_s\|^\alpha]\leq C\|t-s\|^{1+\beta} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s,t \in [0,T] \end{eqnarray}$ . Die linke Seite kann man für $\begin{eqnarray} \alpha = 2 \end{eqnarray}$ (wir gehen vom $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ aus) schreiben als t-s. Bleiben also noch Werte für $\begin{eqnarray} \beta ~ und ~ C \end{eqnarray}$ , damit die Gleichung erfüllt ist. Kann mir jemand helfen? Danke!
02.11.2011, 19:37	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn $\begin{eqnarray} X_t-X_s \end{eqnarray}$ verteilt? Und was folgt daraus für $\begin{eqnarray} E[(X_t-X_s)^2] \end{eqnarray}$ ? Edit: Aber irgendwie weiß ich nicht, wie Du damit weiterkommen willst Untersuche lieber gleich $\begin{eqnarray} E[(X_t-X_s)^{4}] \end{eqnarray}$ , denk Dir dann ein $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ (ein sinnvolles ) aus und bestimme dann ein passendes C lg Edit2: Vergiss meinen ersten Satz, hatteste ja schon (ganz winzig klein, damit ich's überlese^^) geschrieben Edit3: Ok, die Erklärung kam vllt ein wenig zu kurz: Du willst mit $\begin{eqnarray} a:=\|s-t\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\leq Ca^{1+\beta} \end{eqnarray}$ erreichen( $\begin{eqnarray} \beta>0 \end{eqnarray}$ ). Das kann nicht klappen für $\begin{eqnarray} a\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ .(Weshalb?) Deshalb wähle ich $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray*}$ anders als Du.
02.11.2011, 20:30	PeterDl.	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum kann das nicht klappen? Mein Prof meinte nur, dass man $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ als 2 wählen soll. Wieso würdest du mit 4 arbeiten? Wie sähen denn dann C und beta aus?
02.11.2011, 20:39	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso das mit 2 nicht klappt, steht oben und für 4 musst Du schon ein wenig rechnen. Edit: Wieso ich mit 4 arbeite, wenn 2 nicht klappt? Naja, weil ich das 4. moment der normalverteilung kenne, kannst aber auch was anderes nehmen. Wie man beta bestimmt? Für alpha=4 kannste das beliebig wählen, würde es aber sinnvoll wählen. C wäre dann noch zu berechnen, hab ich nicht gemacht, ist aber leicht.

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