R\Q liegt dicht in R für x<z<y

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lady21 Auf diesen Beitrag antworten »
R\Q liegt dicht in R für x<z<y
Meine Frage:

Ich habe eine Aufgabe:

Sei x,y eR mit x<y
Ich soll beweisen, dass z eR\Q mit x<z<y existiert..

ich habe keinen blassen schimmer..wie ich hier rangehen soll..:S


Meine Ideen:
ich muss doch beweisen, dass x<z<y dasselbe ist wie x<y also, dass
zwischen y und x ein z existiert..oder???
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ch muss doch beweisen, dass x<z<y dasselbe ist wie x<y


Nein, dass würde nicht funktionieren.

Betrachte mal folgendes. Nehmen wir an ich habe

x = -5 und y = 5

Dann wäre eine Möglichkeit.

Nehmen wir an wir haben x = 0 und y = 1, dann wäre



eine Möglichkeit.

Wenn Du zwei Zahlen x und y hast, mit x < y, mit welchen Zahlen musst Du Pi multiplizieren und verschieben, so dass die resultierende Zahl z zwischen x und y liegt? Denk da mal drüber nach. Achte darauf dass du nicht mit Vielfachen von pi multiplizierst, da Du sonst rational werden könntest.
T-Pain Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hätte die lösung zu deinem kleinen rätsel, wäre damit schon alles bewiesen?!
lady21 Auf diesen Beitrag antworten »

zu Mazze:

die annahme mit den beispielen hatte ich auch, nur mit Epsilon, weil wir in der vorlserung epsilon benutzen.

Also

bei der multiplikation:
Angenommen z= pi*x, gilt : x<pi*x und pi*x < y

was meinst du mit verschieben?!

zu T-pain:
Achja, und die wäre?^^
Laut der Aufgabenstellung, wäre es dann.
lady21 Auf diesen Beitrag antworten »

man beachte:

R ohne Q = R\Q liegt dich in R..
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
z= pi*x, gilt : x<pi*x



Da gibt es es unedlich viele Gegenbeispiele, denn diese Aussage ist für alle x < 0 falsch.

Zitat:
was meinst du mit verschieben?!


Naja, haben wir etwa x = -4 und y = -3, dann wäre eine Möglichkeit. Ich habe pi also um 7 nach Links verschoben, damit das rein passt.

Zitat:
die annahme mit den beispielen hatte ich auch, nur mit Epsilon, weil wir in der vorlserung epsilon benutzen.


verwirrt

Epsilon ist im Allgemeinen nur ein Bezeichner für eine positive Zahl. Ich habe hier mit pi eben genau die irrationale Zahl pi gemeint, die Kreiszahl.
 
 
lady21 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich hier eine fallunterscheidung machen??
einmal für x<z und z<y??

ok, dann sollte ich mit pi arbeiten..

aber ich weiß immer noch nicht, was ich da zeigen muss! vllt denk ich grad zu kompliziert oder sonstwas, aber ich versteh grad nichts..

reicht denn schon die annahme?? ich muss es doch noch beweisen..://
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ok, dann sollte ich mit pi arbeiten..


Musst Du nicht. Du kannst jede bel. irrationale Zahl nehmen. Ich mag pi einfach.

Zur Aufgabe

Wenn x kleiner als y ist, dann liegt zwischen x und y eine irrationale Zahl. Das ist die Aussage die zu beweisen ist. Jetzt hab ich Dir gezeigt, dass man jede bel. irrationale Zahl so modifizeren kann (multiplikation und verschiebung) , so dass diese Zahl immernoch irrational ist, und zwischen x und y liegt. Du musst Dir überlegen wie man , für allgemeines x und y diese Modifikation bewerkstelligen kann. Dann ist die Aussage bewiesen, da Du dann für alle x,y so ein z gefunden hast.
DJ Ango Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,

ich sitze vor derselben Aufgabe und habe ebenfalls einige Probleme.

nach deinen Aussagen unter diesem Artikel habe ich die Aufgabe wie folgt verstanden:

Voraussetzung:



zu zeigen:



Beweis:

Du ersetzt jetzt das z durch eine irrationale Zahl, in diesem Fall und modifizierst das dem x und y entsprechend. Hier stehe ich nun wieder vor fragen.

Du sagst ja dass man durch Addition/Multiplikation das modifiziert, also zum einen und zum anderen mit .

Sehe ich das bis hierhin richtig?

Das n muss dann aber doch jetzt irgendwie in Abhängigkeit von x,y sein, da das ja die beiden Elemente sind die ich verändere.

Ich hoffe du kannst mir vielleicht noch ein wenig weiterhelfen.

Gruß
KA123 Auf diesen Beitrag antworten »

man kann zu einer irrationalen Zahl natürliche Zahlen, addieren, mit ihnen multiplizieren und durch sie teilen und die neue Zahl ist immer noch irrational.
Ich würde eine Fallunterscheidung machen:
d.h. 1. x rational und y irrational (oder umgekehrt); das dürfte am einfachsten sein
2. x und y beide rational. da musst du dir eben überlegen wie du eine irrationale Zahl deiner Wahl durch oben beschriebene Rechenoperationen zwischen x und y schieben kannst, oder andersrum wie du deine zahlen x und y so verschieben kannst, dass deine irrationale zahl dazwischen liegt.
3. x und y beide irrational. Das kannst du auf 2 zurückführen, falls ihr verwenden dürft, dass dicht in R liegt.

Zu 2 kannst du dich vielleicht Schritt für Schritt rantasten in dem du erstmal bestimmte Zahlen x,y nimmst und versuchst das ganze dann zu verallgemeinern.
lady21 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Mazze!!

Ich habs verstanden! smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich hoffe du kannst mir vielleicht noch ein wenig weiterhelfen.


Es ist manchmal hilfreich sich einfach ein Paar Beispiele zu überlegen. Nimm etwa

x = 0, y = 1

x = -pi , y = e

usw.

und schau nach , wie Du deine Irrationale Zahl z (in meinem Fall pi) verändern musst damit diese zwischen x und y liegt. Und wie KA123 schon sagt, Du musst etwas aufpassen. Wenn Du etwa die Zahl pi mit 1/pi Multiplizierst, wird das Ergebnis rational. Du musst also ein wenig aufpassen was Du machst, damit die Zahl irrational bleibt. Aber dazu hat KA123 ja auch etwas geschrieben.

Die vorgeschlagene Fallunterscheidung kann Dir helfen.
Ralfi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme einfach nicht drauf ich habe das schon für 50 x und y gemacht und habe Formeln aufgestellt konnte aber nichts feststellen. bin schon total am verzweifen. Hat jemand nochmal einen Denkanstoß Hammer
KA123 Auf diesen Beitrag antworten »

So ich beziehe mich mal auf meine oben vorgeschlagenen Fälle.
zu 1: da kannst du einfach den Mittelwert nehmen.
zu 2: Arbeite mit der Differenz der beiden rationalen Zahlen. Diese ist wieder rational. Was passiert wenn man eine rationale Zahl mit einer irrationalen Zahl multipliziert? Ist das Ergebnis rational oder irrational?

Das sollte dich hoffentlich in die richtige Richtung lenken!
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