bitte um Kontrolle:Beweise von Teilmengenbeziehungen

02.11.2011, 19:22

martinio

bitte um Kontrolle:Beweise von Teilmengenbeziehungen

Nabend,

morgen muss ich ein Übungsblatt abgeben und ich würde ganz gerne nochmal euch drum bitten drüberzusschauen, ob meine beweisführungen richtig sind und sie ggf. zu kommentieren.

Zitat:

Beweis I: $\begin{eqnarray*} f\left(U\cap V\right) \subset f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$

Annahme:
Seien U,V Teilmengen von A.
Sei f: A ---> B eine Abbildung.
Behauptung:
Es gilt: $\begin{eqnarray*} f\left(U\cap V\right) \subset f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$
Beweis:
Seien $\begin{eqnarray*} y \in f(U\cap V) \Rightarrow \exists x \in U\cap V:y=f(x) \end{eqnarray*}$
Dann $\begin{eqnarray*} x\in U \wedge x\in V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y\in f(U) \wedge y\in f(V) \end{eqnarray*}$
Somit gilt auch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y\in f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$
Konklusion $\begin{eqnarray*} f\left(U\cap V\right) \subset f(U)\cap f(V) \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Zitat:

Beweis II: $\begin{eqnarray*} f(A)/f(B)\subseteq f(A/B) \end{eqnarray*}$

Annahme:
Seien A,U,B Mengen , mit U C A.
Sei f:A ----> B eine Abbildung.
Behauptuing
Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(A)/f(B)\subseteq f(A/B) \end{eqnarray*}$
Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(A)/f(U) \Rightarrow x\in A \wedge x nicht\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) =: y \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} \exists x \in A \end{eqnarray*}$ , für das gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=y \in f(A) \wedge f(U) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y kein \in f(U) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x =: f^{-1}(y) \Rightarrow x \in A \wedge x nicht\in U, aber x \in A/U \end{eqnarray*}$
Somit $\begin{eqnarray*} y:=\in f(A/U) \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Zitat:

Beweis III: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B/U1) = A/f^{-1}(U1) \end{eqnarray*}$

Annahme:
Seine A,U1,B Mengen und sei U1 C B
Sei f:A---->B eine Abbildung:
Behauptung:
Es git: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B/U1) = A/f^{-1}(U1) \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} x \in A/f^{-1}(U1) \Rightarrow \exists x \in A \wedge x nicht\in f^{-1}(U1) \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(A/f^{-1}(U1) \in B/U1 und f^{-1}(B/U1) \in A/ f^{-1}(U1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(B/U1) = A/f^{-1}(U1) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich mich nirgentwo vertippt habe. Auf vorschläge/ratschläge bin ich sehr gespannt!

02.11.2011, 21:08

Gast11022013

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Schnell mal drübergeschaut und Beweis I stimmt schonmal.

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