determinantem von speziellen matrizen

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ohcibi Auf diesen Beitrag antworten »
determinantem von speziellen matrizen
hi,

hab eine uebungsaufgabe die mir leichte kopfschmerzen bereitet hier (so wie alle beweisaufgaben 8-):

also gegeben sind

das ding hat also die form:


ich soll nun beweisen, dass sich dann die determinante dieser matrix nach der formel berechnen laesst.


dazu habe ich die matrix durch subtraktion der ersten zeile von allen anderen zeilen aequivalent umgeformt, so dass diese jetzt die form:



jetz klaert sich ja schonma das geheimnis um den ersten summanden naemlich welcher sich ja jetz aus der diagonalen von links oben nach rechts unten ergibt....


allerdings hab ich mir schon gestern den kopf darueber zerbrochen wie denn dieser verteufelte zweite summand zustande kommt..... ich hab auch schon versucht die a-x die in der linken spalte stehen alle wegzunullen um irgendwie auf die diagonalform zu kommen, aber dann bleibt ja das letzte a-x da unten stehen und dafuer hat man dann rechts ne spalte mit lauter a-x also hat mich das auch nich schlauer gemacht...... wie geh ich jetz hier weiter vor?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: determinantem von speziellen matrizen
Eine Möglichkeit des Vorgehens ist zB Vollständige Induktion (über n).

Grüße Abakus smile
ohcibi Auf diesen Beitrag antworten »

mein problem is nich die form des mathematischen beweises sondern vom verstaendnis her allgemein, wenn noch n-1 mal die x-a multipliziert werden sollen und das ganze dann irgendwie a*(n-1) mal muss ja irgendwie nochma die ganze diagonale da multipliziert werden, weil woanders stehen ja keine x-a mehr..


vollstaendiges lesen der fragen wuerde solche missverstaendnisse verhindern....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst doch sicher die Entwicklung der Determinante nach Zeilen oder Spalten. Mach das bei der umgeformten Matrix einfach mit der ersten Spalte oder Zeile.

Gruß MSS
ohcibi Auf diesen Beitrag antworten »

das hab ich auch schon probiert, aber dann haett ich ja ab der zweiten spalte (oder eben zeile) nur noch n-2 mal x-a zur verfuegung um es zu multiplizieren, ausserdem is dann ja das problem, dass jeder zweite summand ein negatives vorzeichen hat...... ich komm einfach nich auf den trick in der aufgabe.....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, du machst eine Entwicklung nach der ersten Spalte. Dann hast du doch in der zweiten Zeile das an erster Stelle. Und das musst du ja zu der zugehörigen Unterdeterminante hinzumultiplizieren (dann kommt auch noch ein Minus dazu, aber darum gehts erstmal nicht) und damit hast du dann doch wieder -mal . Wie das dann genau funktioniert, habe ich auch noch nicht durchgerechnet.

Gruß MSS
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nach deiner ersten Umformung bist du ja schon fast am Ziel. Du kannst aus der zweiten, dritten usw. Zeile den Faktor herausziehen. Das gibt dir vor der Determinante den Faktor . Und wie sieht die verbleibende Determinante aus? Die erste Zeile ist immer noch die alte. Alle andern Zeilen beginnen mit -1 und haben außer einer 1 an der zweiten bzw. dritten bzw. vierten usw. Stelle nur Nullen. Diese Determinante stellt ein lineares Polynom in dar. Nun gilt (das sieht man dadurch, daß man in der Determinante durch ersetzt und alle Spalten von der zweiten bis zur -ten zur ersten addiert). Damit gilt mit einer geeigneten Konstanten . Der Wert der Ausgangsdeterminante ist also



Wenn man einen Blick auf diese Determinante wirft, sieht man, daß mit beginnen muß. Also muß sein.
ohcibi Auf diesen Beitrag antworten »

@mathespezialschueler: ich brauch aber a*(n-1)*(x-a)^(n-1) und nich (x-a)*(n-1), darueber hinaus hab ich eben ab der zweiten spalte/zeile nur noch n-2 mal x-a zur verfuegung um damit irgendwas zu machen, es sei denn ich kann je aus einem von diesen a-x dingern aus der ersten spalte noch das gesuchte x-a ding zaubern.... aber wie?

@leopold: was meinst du denn mit herausziehen? willst du jetzt so aehnlich wie bei entwicklung nach j.er spalte oder so in jeder zeile (x-a) rausnehmen, das heißt irgendwie die diagonale da entlang laufen oder wie? und wo sind in der verbleibenden determinanten ueberall -1 ??? da stehen nirgends irgendwelche zahlen, die n-1 kommt zustande weil ich etwas einmal weniger mache als ich spalten/zeilen hab, aber nich weil irgendwo -1 steht.... wenn mein ansatz schon falsch is, sag das bitte auch dazu, oder nimm irgendwie mehr bezug zu meiner frage, aber ich kann da gar keinen zusammenhang herstellen, allein schon wegen der nicht vorhandenen -1en
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Zeilenvektoren der quadratischen Matrix sind und ein Skalar ist, dann gilt doch z.B.



Entsprechend natürlich für die anderen Zeilen (oder auch Spalten). Das ist doch eine Grundeigenschaft der Determinantenfunktion: Linearität in jeder Zeile (Spalte), wenn die andern Zeilen (Spalten) festgehalten werden.

Und diese Regel kannst du bei deiner Matrix für die zweite, dritte, vierte usw. Zeile mit anwenden. Und in der verbleibenden Determinante addiere alle Spalten von der zweiten bis zur -ten zur ersten Spalte dazu.
ohcibi Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich in einer meiner determinanten irgendeine zeile mit (x-a) multipliziere dann steht da entweder 0, x^2-ax oder a^2-xa womit ich das ganze doch nur mehr verkompliziert haette?
nochmal: ich habe da nirgendswo einsen oder minus einsen stehen, wenn doch dann sag mir doch bitte wo die sein sollen...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du stellst dich vielleicht an ... verwirrt

Zum Beispiel:



Im übrigen brauchst du diesen Schritt nicht durchzuführen. Du kannst auch gleich alles von der zweiten bis zu letzten Spalte zur ersten addieren.
ohcibi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du stellst dich vielleicht an ... verwirrt


ich entschuldige mich



was denkst du warum ich hierherkomme? weil ich das thema schon verstanden habe und allen zeigen moechte, dass ich keine hilfestellung brauche oder was?


aber trotzdem mein fehler: hatte mich die ganze zeit verlesen, ja sowas gibts auch, hatte spalten mit zeilen verwechselt, jetz is natuerlich alles klar, fuer die, die sich durch diesen thread hilfe erhoffen, will ich die resultierende matrix mal noch schnell hierhintexen:




also lepold nix fuer ungut, eigentlich bin ich ja dafuer, dass die leute selber denken, aber manchma hat man eben selbst nen brett vorm kopf, bzw. tomaten auf den augen.... danke nochma
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