Konvergenz von komplexer Folge beweisen

02.11.2011, 20:33	T-dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von komplexer Folge beweisen Meine Frage: Ich hab Probleme folgende Aufgabe zu lösen: Entscheiden Sie ob nachstehende Folge konvergiert und beweisen Sie dies elementar also ohne Rechenregeln für Grenzwerte. $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{3n}{i+n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Durch umformen hab ich schonmal herausgefunden, dass der Term gegen 3 sterbt. Dies muss dann durch die Grenzwertdefinition bewiesen werden: $\begin{eqnarray} \| a_{n} - a \| < \epsilon \end{eqnarray}$ Einsetzen: $\begin{eqnarray} \| \frac{3n}{i+n} - 3 \| < \epsilon<br /> <br /> = \| \frac{3n-3(i+n)}{i+n} \| < \epsilon<br /> = \| \frac{3n-3i+3n)}{i+n} \| < \epsilon<br /> = \| \frac{-3i}{i+n} \| < \epsilon <br /> = \frac{3i}{i+n} < \epsilon \end{eqnarray}$ ab hier komm ich nicht mehr weiter. Ich dachte mir man müsste das i aus dem Nenner wegkriegen und das ganze nach n umformen um so die Existienz von $\begin{eqnarray} N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ zu beweisen und so den Grenzwert weiterrechnen kann ich nicht. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen Edit (mY+): LaTex-Tags gesetzt.
05.11.2011, 22:22	LTV92	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal, deine letzte Umformung ergibt keinen Sinn. Der Betrag von (-3i)/(i+n) ist natürlich nicht einfach 3i/(i+n), weil der Betrag muss ja immer eine positive reelle Zahl sein, und wenn i vorkommt dann ist es schonmal keine positive reelle Zahl g Den Betrag einer komplexen Zahl berechnet man über die Formel \|a+ib\| = Wurzel(a^2 + b^2). edit: Dabei kann man ausnutzen, dass \|z / w\| = \|z\| / \|w\| ist. in deinem Fall ergibt sich also erstmal: \|(-3i)/(i+n)\| = 3/Wurzel(1+n²)
07.11.2011, 19:42	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Also komm zwar auf die letzte Zeile von die und wenn man umformt kommt man auf n muss größer sein als (9/epsilon^2) -1 und das ganze unter der Wurzel, aber dann gilt das doch nicht mehr für alle epsilon größer 0 ?

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