Minimalpolynom

02.11.2011, 21:13	aliex12	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom Ich soll von folgender Matrix das Minimalpolynon bestimmen: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ... & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & ... & 0 & -a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 &-a_{3} \\ . & . & . & ... & . & .\\ . & . & . & ... & . & .\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & a_{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Leider liegt bei mir die Lineare Algebra schon länger zurück und ich weiß nicht, wie ich das berechnen soll. Danke für eure Hilfe.
02.11.2011, 21:17	aliex12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz unten steht auch $\begin{eqnarray} -a_{n-1} \end{eqnarray}$
02.11.2011, 21:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde erst mit Induktion das charakteristische Polynom ausrechnen. Danach kann man mit etwas Argumentation zeigen, dass bei dieser Matrix char. Polynom und Minimalpolynom zusammenfallen, denn die Menge $\begin{eqnarray} \{e_1, Ae_1, \dotsc A^{n-1}e_1 \} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ ist der erste Einheitsvektor) ist lin. unabhängig, folglich hat das Minimalpolynom Grad n.
02.11.2011, 21:50	aliex12	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie sieht man,dass die linear unabhängig sind?
02.11.2011, 22:22	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bisschen was sollst du ja auch selbst machen Wenn du es noch nicht siehst, dann nimm doch z.b. einfach mal n=4 und bestimme diese Menge explizit. Dann wird ganz schnell alles klar.

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