bedingte Erwartung - binomialverteilte Zufallsvariablen

02.11.2011, 21:45

ChronoTrigger

bedingte Erwartung - binomialverteilte Zufallsvariablen

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Es seien X und Y zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,F,P) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X \sim Bin(n,p) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \sim Bin(m,p) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \in (0,1) \end{eqnarray*}$ seien.
Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} E(X|X+Y=k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \{0,...,n+m\} \end{eqnarray*}$

Ich weiß bereits (und darf dies auch benutzen), dass $\begin{eqnarray*} P(X=j|X+Y=k)=\frac{\binom{n}{j} \binom{m}{k-j}}{\binom{n+m}{k}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit wäre dann

$\begin{eqnarray*} E(X|X+Y=k) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{j=0}^n j \cdot P(X=j|X+Y=k) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{j=0}^n j \cdot \frac{\binom{n}{j} \binom{m}{k-j}}{\binom{n+m}{k}} \end{eqnarray*}$

jetzt ist mir noch nicht ganz klar, ob sich hier noch etwas vereinfachen lässt, oder ob es das schon war.

kann mir jemand weiter helfen?

danke schonmal im voraus.

06.11.2011, 14:39

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch einmal ein wenig weiterüberlegt, und komme jetzt auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} E(X|X+Y=k) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{j=0}^n j \cdot P(X=j|X+Y=k) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{j=0}^n j \cdot \frac{\binom{n}{j} \binom{m}{k-j}}{\binom{n+m}{k}}= E(Z) \end{eqnarray*}$

wobei Z dann eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable ist, also $\begin{eqnarray*} E(Z)=\frac{kn}{m+n} \end{eqnarray*}$ .

Ist das korrekt?

Neue Frage »

Antworten »

bedingte Erwartung - binomialverteilte Zufallsvariablen

Verwandte Themen