Total antisymmetrischer Tensor 3. Stufe

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JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »
Total antisymmetrischer Tensor 3. Stufe
Hallo Wink

Parallel zu der Frage zum Kronecker Delta jetzt meine Frage zu diesem antis. Tensor 3. Stufe:

Es ist ja so das:



Bedeutet das nun dies(lt. definition):

Beispiele:




und





alles andere 0


Und bedeutet das etwas zb.:



Und das ist:




das Vektorprodukt von i and j und dann der neue Vektor mal den Einheitsvektor. Also sozusagen dann der neue Vektor als komponentenschreibweise(mit Einheitsvektor).


Aber wie berechne ich jetzt sowas:



Ich hab doch überhaupt keine Werte für ijk ?? Und Index mit Summensymbol hab ich auch nicht.

Wieso werden eigentlich immer Aufgaben gestellt ohne irgendwelche Zahlen böse
Aber den Rest hab ich verstanden, wenn ich bei allem richtig lag.

Gruß
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung kann nicht stimmen, weil auf der linken Seite eine Zahl und auf der rechten Seite ein Vektor steht.

Den Tem "berechnet" man durch folgende Überlegung: verschwindet für . Umgekehrt verschwindet bei . Da stets einer der beiden Fälle auftreten muss, also oder , verschwindet das Produkt immer.
 
 
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso verschwindet denn das epsilon wenn i=j ? Weil dann lt der definition von epsilon "alles andere = 0" gilt?? Gruß
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh einfach nicht für was diese scheiß buchstaben immer gelten sollen -.- ist ijk immer 123 oder was? ist dann j = 2 IMMER oder wie? Ich hab noch eine andere Aufgabe:

Drücke sie e_jik durch e_ijk aus . Und was soll des jetzt??? Soll ich einfach willkürliche Zahlen einsetzen : e_123 ist dann e_213 und dann? -.-

gruß...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JonnyMaddox
ich versteh einfach nicht für was diese scheiß buchstaben immer gelten sollen


Ich darf darum bitten, die Diskussion in einem gemäßigteren Ton fortzuführen.
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

schon gut sry^^
Gruß Wink
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JonnyMaddox
Weil dann lt der definition von epsilon "alles andere = 0" gilt?? Gruß


Genau deswegen.

Insgesamt durchlaufen jeweils . Und deine Definition oben sagt, was der Wert von für jede Kombination ist.

Ich nehme an, es handelt sich um eine Aufgabe aus der Physik. Dort wird dieses Levi-Civita-Symbol () speziell im dreidimensionalen Raum eingesetzt. Daher laufen die Indizes auch nur von 1 bis 3.

Nun soll noch durch ausgedrückt werden. Bei Gleichheit zweier Indizes kommt sicherlich auch bei Null heraus.
Bei den anderen Kombinationen kannst du mal ein paar Werte einsetzen, um eine Vermutung zu bekommen, wie der Zusammenhang ist.
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok danke, also ich hab jetzt verstanden wie ich das ausdrücke, ich hätte einfach genauer die Definition durchlesen sollen, dann hätte ich gesehen das e_ijk = -e_jik ist, weil es gilt ja 123 und dann 213 negativ, dann ist ja auch e_ijk das selbe wie e_kij oder?

Nun aber eine andere Aufgabe:

Drücken Sie die Summe :

e_ijk e_mnk durch Kronecker Symbole aus.

Hinweis:
Was muss für i und j gelten, damit es überhaupt ein nichtverschwindendes e_ijk gibt? Unter welchen Umständen verschwindet dann e_mnk auch nicht?


Ok also was gelten muss damit es ein nicht verschwindendest e_ijk gibt ist, es darf nicht i=j sein, sonst verschwindet es ja, und somit darf auch nicht m=n sein.
Trotzdem verwirrt mich die Aufgabe extrem -.- Was ich so nebenbei verstanden hab, ist das ja e_ijk eine Matrix mit Einheitsvektoren representiert, wenn ich dann noch dieses e_mnk hab, dann sind das sozusagen 6 vektoren die zwei "matrixen" mit jeweils 3 vektoren darstellen, stimmt das?
Aber wie errechne ich jetzt die Summe, bei der Aufgabenstellung steht ja e_ijk e_mnk , das ist doch aber ein Produkt?! Oder soll ich dann das so sehen das ich die summe von jeweils allen möglichen "permutationen" der beiden nehmen soll? -.- Hab leider nicht mehr viel Zeit, muss schon morgen abgeben traurig

Gruß
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

halt moment !!! fall jemand schreiben will, bitte warten bin grade am gedanken entwickeln Big Laugh

werden dann posten, danke gruß
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab grade gesehen das man das ja auch so schreiben könnte:




Und wenn ich das jetzt so schreibe:



Ist das jetzt schon die Lösung zu der Aufgabe? verwirrt

Gruß
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

Oder soll ich das ausmultiplizieren?? Dann ist es ja kein Produkt mehr, lt Distributivgesetz, also nicht mehr das produkt von summen, sondern die summe von produkten, somit würde es auch mit der Aufgabenstellen passen, da ja dort die summe gefordert wird.
Gruß Wink
JonnyMaddox Auf diesen Beitrag antworten »

kann bitte jemand noch kurz einen hinweis geben ob das richtig ist? smile

Danke, Gruß !
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

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Frage von JonnyMaddox:

ich versteh einfach nicht für was diese scheiß buchstaben immer gelten sollen -.- ist ijk immer 123 oder was? ist dann j = 2 IMMER oder wie? Ich hab noch eine andere Aufgabe:

Antwort:
ist eine Variable, die in Abhängigkeit von den Indizes 1,2,3,...,n die Werte 0 oder +1 oder -1 annehmen kann. Man legt willkürlich fest, dass bei natürlicher Reihenfolge der Indizes 1,2,3,...n gelten soll . Das Vorzeichen soll sich umkehren, wenn man ein beliebiges Indexpaar vertauscht, z.B. . Bei nochmaligem Vertauschen zweier Indizes ändert sich das Vorzeichen wieder, also usw. Damit sind die Vorzeichen +1 und -1 für alle Vertauschungen der Reihenfolge der Indizes 1,2,3,...,n festgelegt.

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Frage von JonnyMaddox:
Wieso verschwindet denn das epsilon wenn i=j ? Weil dann lt der definition von epsilon "alles andere = 0" gilt??

Antwort:
Laut Definition verschwindet , wenn zwei oder mehr Indizes identisch sind, z.B.
u.v.a.
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Frage von JonnyMaddox:
Drücke sie e_jik durch e_ijk aus . Und was soll des jetzt??? Soll ich einfach willkürliche Zahlen einsetzen : e_123 ist dann e_213 und dann? -.-

Antwort:
Angenommen hat irgendeinen Wert (also +1 oder -1 oder 0). Vertauscht man die ersten beiden Indizes j,i, so kehrt sich das Vorzeichen um, also .

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Frage von JonnyMaddox:

Also ich hab grade gesehen das man das ja auch so schreiben könnte:


Ist das jetzt schon die Lösung zu der Aufgabe?

Antwort:
Auf der rechten Seite stehen Determinanten, nicht Matrizen, also



Das kann man mit den Rechenregeln für Determinanten schön vereinfachen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JonnyMaddox
Nun aber eine andere Aufgabe:

Drücken Sie die Summe :

e_ijk e_mnk durch Kronecker Symbole aus.


Mal noch eine Rückfrage: Physiker benutzen doch gerne diese Summenkonvention. Kann es nicht sein, dass gemeint ist (über doppelt vorkommende Indizes wird summiert)?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@jester
Strenggenommen wird gemäß "Einsteinscher Summenkonvention" nur über obere und untere Indizes automatisch summiert, also z.B. aber nicht . Da im Euklidischen Raum der Unterschied zwischen oberer und unterer Indizierungen entfällt, also wird in diesem Falle in manchen Büchern trotzdem automatisch summiert.

Die Summe habe ich schon mal vorgerechnet. (Siehe beim Fragesteller "Southwind" am 26.10.11 nach.)
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