majoranten kriterium reihe

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dark123 Auf diesen Beitrag antworten »
majoranten kriterium reihe
hi,

ich hab hier die reihe:



Nun will ich das majoranten oder minoranten kriterium anwenden. nur hab ich noch nicht
verstanden wie ich jetzt herausfinde welches ich anwenden kann und wie das genau mit dem abschätzen funktioniert.

wenn ich habe:



kann ich dann abschätzen?:



also das minoranten kriterium verwenden. irgendwie komm ich bei dem beispiel nicht weiter. und bringt mich die abschätzung eigentlich weiter? da ich vermute dass die reihe konvergiert.
nur wie sehe ich welche abschätzung mich zum ziel führt?

lg
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: majoranten kriterium reihe
Damit die unendliche Reihe überhaupt konvergieren kann, muss erst einmal eine Nullfolge sein.
dark123 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok ist die gegebene ja.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dark123
hmm ok ist die gegebene ja.

Wie bitte? Da schau nochmal genauer hin.
dark123 Auf diesen Beitrag antworten »

oje. hab mich vertippt. richtig müsste es heissen:

dark123 Auf diesen Beitrag antworten »

heisst das wenn an eine nullfolge ist konvergiert die reihe sicher? oder ist das nur eine zwingende bedingung?
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, dann sieht's schon anders aus. Naja, hast du denn schon eine Ahnung, wo die Reise hingehen könnte?

Man verwendet das Majorantenkriterium zum Nachweis von Konvergenz, denn wenn man eine betragsmäßig "größere" Reihe findet, die konvergiert, tut es auch die, die man gerade untersucht.

Das Minorantenkriterium hingegen verwendet man, um Divergenz nachzuweisen, denn findet man eine betragsmäßig "kleinere" Reihe, die divergiert, dann tut es auch die, die man gerade untersucht.

Ziel muss es natürlich sein, gegen eine Reihe abzuschätzen, deren Konvergenzverhalten bekannt ist. Zum Beispiel konvergiert die allgemeine harmonische Reihe



für . Darauf wird's hier hinauslaufen.

Zitat:
Original von dark123
heisst das wenn an eine nullfolge ist konvergiert die reihe sicher?

Nein, das ist eine notwendige (bzw. zwingend, wie du es nennst), aber nicht hinreichende Bedindung. Wenn allein das schon ausreichen würde, bräuchte man die ganzen anderen Konvergenzkriterien ja nicht mehr. Augenzwinkern
dark123 Auf diesen Beitrag antworten »

ok mein problem ist jetzt folgendes:

ich weiss zunächst ja nicht ob sie divergiert oder konvergiert, ich also das minoranten oder majoranten kriterium anwenden muss. sagen wir ich nehme an sie divergiert dann brauche ich eine bekannte divergente reihe die sicher kleiner ist stimmt das bis jetzt?

dann habe ich meine reihe von oben:



wenn ich jetzt sage:



stimmt das ja bis jetzt oder?

nur wenn ich dann weiter rechne bekomme ich für :



ja als ergebnis



was ja offensichtlich nicht sein darf wenn die reihe divergent sein soll. oder hab ich hier wo einen denkfehler?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dark123
ich weiss zunächst ja nicht ob sie divergiert oder konvergiert, ich also das minoranten oder majoranten kriterium anwenden muss. sagen wir ich nehme an sie divergiert dann brauche ich eine bekannte divergente reihe die sicher kleiner ist stimmt das bis jetzt?

Ja.

Und ansonsten halt immer auf die Exponenten schauen. Die höchsten Exponenten sind die, die wirklich ins Gewicht fallen. Im Zähler steht als höchster Exponent hoch 3. Im Nenner hoch 5. Das heißt, das hoch 5 im Nenner wird entscheidend sein. Klammere vielleicht mal insgesamt n^3 aus, dann wirst du sehen, dass die +2 und die +8 vollkommen egal sind. Und dann steht nur noch im Nenner ein hoch 2. Und dann weiß man eigentlich sofort, dass die Reihe konvergiert. Das gilt es aber eben sauber zu zeigen. Also: Majorantenkriterium!

Zitat:
Original von dark123
wenn ich jetzt sage:



stimmt das ja bis jetzt oder?

Für welche n gilt diese Abschätzung denn bitte?

Du kannst ruhig ganz brutal vorgehen beim Abschätzen. Wenn du eine konvergente Reihe zum Beispiel mit Hundert Milliarden multiplizierst, konvergiert sie immer noch. Augenzwinkern
dark123 Auf diesen Beitrag antworten »



stimmt doch für jedes n oder? und hier liegt mein problem. du sagst die reihe konvergiert. heisst
ich brauche eine abschätzung der form:





so versteh ichs:



nur wie kann es sein dass:



das heisst ich hätte angenommen die reihe divergiert, hab abgeschätzt und irgendwie doch
auf einen GW gekommen. oder ist die annahme:



einfach blödsinn?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dark123
oder ist die annahme:



einfach blödsinn?

"Blödsinn" trifft es ziemlich gut, ja.

Hast du mal n=1 oder so eingesetzt? Dann steht da 5/13 > 3/5. Hallo?

Ich meine, wie bist du überhaupt darauf gekommen?

Um es nochmal hervorzuheben: Die Reihe konvergiert. Man erkennt das sofort an den Exponenten. Die sind entscheidend. Es ist egal, ob da jetzt noch +1000 oder +500.000 im Zähler stünde. Wichtig ist, wie sich das Ding für immer größer werdende n verhält.
dark123 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann vergess ich den blödsinn schnell mal :-) ja hab das ganze mal in meinen ti eingegeben und hab natürlich nicht für n= 1 eingesetzt. ausserdem kann der ti anscheinend gw von reihen nicht so gut.

vielen dank für deine hilfe. hast mir wirklich weiter geholgen smile

lg
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