Parallele durch zwei Punkte

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03.11.2011, 00:14	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallele durch zwei Punkte Guten Abend. Für jedes $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ist eine Funktion fa gegeben durch $\begin{eqnarray} fa(x) = \frac{ax^2-6x}{x^2-2x-3} \end{eqnarray}$ Ihr Graph sei Ga. Aufgabe: Die Parallele p zur x-Achse durch den Punkt Q(u \| f3(u)), mit u > 3, schneidet G3 in einem zweiten Punkt R. Zeige, dass $\begin{eqnarray} d(u) = \frac{9}{4} \cdot \frac{(u-1)^2}{u^2-2u-3} \end{eqnarray}$ den Abstand des Punktes H(1 \| 3/4) von p beschreibt. Ansatz: Soll ich die Funktion $\begin{eqnarray} d(u) = \frac{9}{4} \cdot \frac{(u-1)^2}{u^2-2u-3} \end{eqnarray}$ verwenden um den Abstand zu bestimmen, oder umgekehrt? Ich bin leider überfordet, könnt ihr mir einen Tipp für den 1.Schritt geben? Ich wäre euch sehr dankbar
03.11.2011, 00:30	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme den allgemeinen Abstand der beiden Punkte H und Q (Pythaogoras) . Edit: Wobei Q hier dann (1\|f3(u)) lauten muss, inosfern geht es im Prinzip nur um die Differenz zweier y-Koordinaten.
03.11.2011, 00:45	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, dass du mir antwortest Björn Den Abstand zweier Puntke zu berechnen, sollte ich noch schaffen, jedoch frage ich mich, wie ich an den Wert für das u rankomme. Im Moment ist es ziemlich schwer für mich, sich das alles bildlich vorzustellen. u soll größer 3 sein, kann ich dann einfach 4 einsetzen ( f3(4) )?
03.11.2011, 00:54	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du mein Edit noch gelesen gehabt ? Ich hatte noch etwas hinzugefügt in meinem letzten Beitrag. Hier mal eine Grafik zum Sachverhalt. Die rote Parallele p habe ich willkürlich als Beispielparallele gewählt, also nicht denken, dass es hier jetzt genau um diese Parallele zur x-Achse geht.
03.11.2011, 01:12	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, hatte ich nicht gelesen, tut mir Leid $\begin{eqnarray} fa(x) = \frac{ax^2-6x}{x^2-2x-3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f3(u) = \frac{3u^2-6u}{u^2-2u-3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d = \sqrt{( 1 + 1 )^2 + (\frac{3}{4} \cdot f3(u)) ^2} \end{eqnarray}$ Vielleicht so? Großes Dankeschön für die Darstellung, sie hilft enorm
03.11.2011, 01:21	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechenzeichen in deinem Wurzelterm stimmen nicht. Statt 1+1 müsste es 1-1 heißen. Und das Malzeichen ist auch verkehrt. Mit meinem Hinweis ist es wie gesagt im Prinzip auch überflüssig die "Pythagorasformel" zu benutzen. Denn da die Punkte H und P übereinander liegen, muss man nur die y-Koordinaten von P und H voneinander abziehen. Bedenke zudem, dass P immer oberhalb von H liegt.
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03.11.2011, 15:17	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Verbessert: $\begin{eqnarray} d = \sqrt{( 1 - 1 )^2 + (\frac{3}{4} - f3(u)) ^2} \end{eqnarray}$ Abstand der y-Koordinaten: $\begin{eqnarray} f3(u) - \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3u^2-6u}{u^2-2u-3} - \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ Wie komme ich nun auf: $\begin{eqnarray} \frac{9}{4} \cdot \frac{(u-1)^2}{u^2-2u-3} \end{eqnarray}$ Der Nenner stimmt und im Zähler muss ich irgendwie kürzen, aber wie komme ich dann von -3/4 auf mal 9/4? Danke bis dahin.
03.11.2011, 18:58	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa mach doch mal gleichnamig.
03.11.2011, 19:49	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{3u^2-6u}{u^2-2u-3} - \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{4(3u^2-6u)}{4(u^2-2u-3)} - \frac{3(u^2-2u-3)}{4(u^2-2u-3)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{4(3u^2-6u) - 3(u^2-2u-3) }{4(u^2-2u-3)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{12u^2-24u - 3u^2 +6u + 9}{4(u^2-2u-3)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{9u^2-18u + 9}{4(u^2-2u-3)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{9(u^2-2u + 1)}{4(u^2-2u-3)} \end{eqnarray}$ Binomische Formel: $\begin{eqnarray} \frac{9(u - 1)^2}{4(u^2-2u-3)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{9}{4} \cdot \frac{(u-1)^2}{u^2-2u-3} \end{eqnarray}$ So, ich denke die Schritte waren richtig Dankeschön Björn! Nur noch eine letzte Aufgabe dazu: Die Punkte Q,R und H bilden ein Dreieck. Dieses Dreieck rotiert um seine Symmetrieachse. Bestimme u so, dass das Volumen des entstehenden Kegels minimal wird. Gebe das kleinstmögliche Volumen an. Ansatz: $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot Ag \cdot h \end{eqnarray}$ Die Höhe des Dreiecks haben wir ja eigentlich schon defineirt, also den Abstand der y-Koordinaten der Punkte P und H. Fehlt noch der Radius und das u. Kann es sein das der Radius die Strecke PR bzw. PQ ist? Und um das kleinste u zu ermitteln, müsste ich das Minimum von $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot Ag \cdot h \end{eqnarray}$ suchen, oder
03.11.2011, 20:37	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt soweit alles was du schreibst. Wie lautet demnach also die Zielfunktion V(u) ?
03.11.2011, 21:12	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, das freut mich $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot(u - 1) \cdot (f3(u) - \frac{3}{4}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot(u - 1) \cdot (\frac{9}{4} \cdot \frac{(u-1)^2}{u^2-2u-3} - \frac{3}{4}) \end{eqnarray}$ Ist das richtig so? Habe nämlich mit dem Taschenrechner leider kein Minimum gefunden.
03.11.2011, 22:05	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ag ist doch ein Kreis, und demnach gilt doch $\begin{eqnarray} A_g=r^2 \cdot \pi=(u-1)^2 \cdot \pi \end{eqnarray}$ und die Kegelhöhe ist wie du vorher noch sagtest $\begin{eqnarray} d(u) = \frac{9}{4} \cdot \frac{(u-1)^2}{u^2-2u-3} \end{eqnarray}$
03.11.2011, 23:00	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich war irgendwie neben der Spur. $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot(u - 1)^2 \cdot \pi \cdot (\frac{9}{4} \cdot \frac{(u-1)^2}{u^2-2u-3}) \end{eqnarray}$ Minima: Bei x = 1, demnach ist für u = 1 das Volumen des entstehenden Kegels am kleinsten. $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot(1 - 1)^2 \cdot \pi \cdot (\frac{9}{4} \cdot \frac{(1-1)^2}{1^2-2-3}) \end{eqnarray}$ Jetzt wird das Volumen aber 0, wie kann das sein?
03.11.2011, 23:06	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Voraussetzung bzw AUfgabenstellung soll ja u>3 gelten und dafür gibt es in der Tat ein Minimum (ungleich null) wie der entsprechende Graph für V(u) zeigt:
03.11.2011, 23:22	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ich hab die y-Achse zu kurz festgelegt.. Minima bei x = 3.83. Richtig?
03.11.2011, 23:33	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt, ich hoffe du hast das auch brav per Hand berechnet.
03.11.2011, 23:38	Blue.3YE	Auf diesen Beitrag antworten »
Per Hand (eingetippt) ... Tut mir Leid, da muss ich dich entäuschen, aber ich werds morgen machen und meinen Rechenweg nochmal posten Minima: Bei x = 3.83, demnach ist für u = 3.83 das Volumen des entstehenden Kegels am kleinsten. $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot(3.83 - 1)^2 \cdot \pi \cdot (\frac{9}{4} \cdot \frac{(3.83-1)^2}{3.83^2-2\cdot3.83-3}) = 37.7 \end{eqnarray}$ Wow, hat wieder viel Zeit in Anspruch genommen, jedoch hast du mir die ganze Zeit beigestanden Björn! Vielen Dank dafür und noch einen schönen Abend
03.11.2011, 23:42	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wollte damit auch nur andeuten, dass es letztendlich nur auf eine quadratische Gleichung hinausläuft, auch wenn der Term zunächst etwas "monströs" aussieht. Schönen Abend dir auch und viel Erfolg weiterhin.

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