Mississippi-ähnliches Problem

03.11.2011, 01:42

Steven123

Mississippi-ähnliches Problem

Meine Frage:
Hallo, ich habe im Unterricht das Mississipi-Problem behandelt und auch sogar verstanden Augenzwinkern

Nun hat uns unser Lehrer die Aufgabe gegeben die möglichen Kombinationen
für die Buchstabenkombination: A B C D EE FF GGG HHHH zu ermitteln.
Hier bin ich nach $\begin{eqnarray*} \frac{15!}{4!3!3!2!} \end{eqnarray*}$ auf die Lösung 756756000 gekommen.

Nun soll ich aus das gleiche Spiel mit 14 aus den 15 Buchstaben wiederholen.

Meine Ideen:
Ab hier ist dann Schluss Augenzwinkern

Einfach nach $\begin{eqnarray*} \frac{14!}{4!3!3!2!} \end{eqnarray*}$ umzubauen kommt mir einerseits komisch als auch zu einfach vor.

Bitte seid so nett und helft mir auf die Sprünge, ich hab -gefühlt- das halbe Internet durchforstet und lande immer bei Wahrscheinlichkeitsrechung - die scheint hier jedoch noch nicht gefragt...

Grüße und schonmal vielen Dank

Steve

03.11.2011, 11:07

René Gruber

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Zitat:

Original von Steven123
Hier bin ich nach $\begin{eqnarray*} \frac{15!}{4!3!3!2!} \end{eqnarray*}$ auf die Lösung 756756000 gekommen.

Zähl nochmal genau die "Mehrfachheiten" nach...

Zitat:

Original von Steven123
Nun soll ich aus das gleiche Spiel mit 14 aus den 15 Buchstaben wiederholen.

Das ist ziemlich missverständlich formuliert. Ich nehme an, es ist so gemeint:

Zitat:

Wieviele 14buchstabige Wörter lassen sich bilden, wenn A B C D EE FF GGG HHHH zur Verfügung stehen und man genau einen Buchstaben davon weglässt.

03.11.2011, 12:29

andyrue

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RE: Mississippi-ähnliches Problem

Zitat:

Original von Steven123
Meine Frage:
Hallo, ich habe im Unterricht das Mississipi-Problem behandelt und auch sogar verstanden Augenzwinkern

es muss, wenn du mit 14 buchstaben rechnest, schon klar sein welchen buchstaben du weglässt.

z.b. ein 's' weglässt, steht oben statt 15 eine 14,
unten wird die fakultät die für das s steht um eins ver..

andy

03.11.2011, 13:22

Steven123

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Hallo, ja habs gesehen, unterm Bruch muss natürlcih 4!3!2!2! stehen. Lösung ist dann korrekterweise 2270268000

Rene hat es richtig verstanden, die Aufgabenstellung lautet:
Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen, jeweils bestehend
aus vierzehn Buchstaben, kann man mit diesen Buchstaben bilden?

Ist es so das Ziehen mit zurücklegen mit Betrachtung der Reihenfolge?
Falls ja, wie bekäme ich dann die mehrfachen Buchstaben "weg" Augenzwinkern

03.11.2011, 14:03

René Gruber

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Die Ergebnisanzahl ist (vielleicht auf den ersten Blick verblüffend) dieselbe wie die bei den Wörtern mit allen 15 Buchstaben!

Das kann man sich zum einen durch mühsame Einzelrechnung klarmachen (für jeden einzelnen der weggelassenenen Buchstaben, also sieben Fälle A,B,C,D,E,F,G,H die Anzahl der Wörter berechnen, wo dieser Buchstabe weggelassen wird, und diese sieben Anzahlen dann addieren) oder aber auch in einer gemeinsamen Überlegung basierend auf der Ausgangssituation mit allen 15 Buchstaben. Augenzwinkern

03.11.2011, 18:20

Leopold

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In der Tat verblüffend. Und im nachhinein so "logisch".

Hier eine Ausarbeitung von René Grubers Vorschlag.

Es sei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die Menge aller Wörter der Länge $\begin{eqnarray*} 15 \end{eqnarray*}$ gemäß dem ersten Aufgabenteil und $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ die Menge aller Wörter der Länge $\begin{eqnarray*} 14 \end{eqnarray*}$ gemäß dem zweiten Aufgabenteil. Die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist klar:

$\begin{eqnarray*} |W| = \frac{15!}{1!1!1!1!2!2!3!4!} \end{eqnarray*}$

Daß ich die scheinbar überflüssigen Faktoren $\begin{eqnarray*} 1! \end{eqnarray*}$ hingeschrieben habe, dient der Systematik für das Folgende. Wie René es vorgeschlagen hat, sei nun $\begin{eqnarray*} W'_{\text{A}} \end{eqnarray*}$ die Menge aller Wörter der Länge $\begin{eqnarray*} 14 \end{eqnarray*}$ , die man bilden kann, wenn man bei den $\begin{eqnarray*} 15 \end{eqnarray*}$ Buchstabenplättchen ein mit $\begin{eqnarray*} \text{A} \end{eqnarray*}$ beschriftetes Plättchen wegläßt. Entsprechend sind $\begin{eqnarray*} W'_{\text{B}} \end{eqnarray*}$ und die andern definiert. $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ ist die disjunkte Vereinigung dieser acht Mengen (daß René bei dem ganzen Buchstabensalat nicht mehr auf acht zählen kann, wollen wir ihm großzügig nachsehen Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} W' = W'_{\text{A}} \cup W'_{\text{B}} \cup W'_{\text{C}} \cup W'_{\text{D}} \cup W'_{\text{E}} \cup W'_{\text{F}} \cup W'_{\text{G}} \cup W'_{\text{H}} \end{eqnarray*}$

Was ist nun z.B. $\begin{eqnarray*} \left| W'_\text{G} \right| \end{eqnarray*}$ ? Ein $\begin{eqnarray*} \text{G} \end{eqnarray*}$ weniger, also

$\begin{eqnarray*} \left| W'_{\text{G}} \right| = \frac{14!}{1!1!1!1!2!2!2!4!} \end{eqnarray*}$

Was hat sich im Hinblick auf $\begin{eqnarray*} |W| \end{eqnarray*}$ geändert? Im Zähler steht jetzt $\begin{eqnarray*} 14! \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 15! \end{eqnarray*}$ , das entspricht einer Division durch $\begin{eqnarray*} 15 \end{eqnarray*}$ . Und im Nenner steht jetzt einmal $\begin{eqnarray*} 2! \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 3! \end{eqnarray*}$ , das entspricht einer Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left| W'_\text{G} \right| = |W| \cdot \frac{3}{15} \end{eqnarray*}$

Und jetzt entwickle analoge Formeln für die andern sieben Mengen und addiere.

Und nun die zweite Methode. Dazu die zwei Abbildungen $\begin{eqnarray*} \varphi, \psi \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ W \to W' \, ,\ \ \varphi = \mbox{"streiche den letzten Buchstaben"} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi: \ W' \to W \, , \ \ \psi = \mbox{"hänge den fehlenden Buchstaben hinten an"} \end{eqnarray*}$

Was ist mit $\begin{eqnarray*} \psi \circ \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \circ \psi \end{eqnarray*}$ ?

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