Verschoben! Basis von Vektoren: Polynome

03.11.2011, 10:17	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Vektoren: Polynome Hello Ich hab folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Polynome 1, 1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3 eine Basis des Vektorraumes der Polynome höchstens dritten Grades bilden. Stellen Sie mithilfe dieser Basis das Polynom 2-x+x^2+5x^3 dar. Ich hab folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} r1+s(1+x)+t(1+x+x^2)+u(1+x+x^2+x^3)=2-x+x^2+5x^3 \end{eqnarray}$ I. $\begin{eqnarray} r+s+t+u=2 \end{eqnarray}$ II. $\begin{eqnarray} sx+tx+ux=-x \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} s+t+u=-1 \end{eqnarray}$ III. $\begin{eqnarray} tx^2+ux^2=x^2 \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} t+u=1 \end{eqnarray}$ IV. $\begin{eqnarray} ux^3=5x^3 \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} u05 \end{eqnarray*}$ u=5 t=-4 s=-2 r=3 (Hab ich durch Gaus Verfahren rausbekommen) So, das ist aber doch jetzt nur, als Linearkombination dargestellt so, oder? Also meine Basis? Wie geh ich weiter vor? Oder bin ich total auf dem falschen Dampfer?
03.11.2011, 13:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Vektoren: Polynome Die 4 gegebenen Polynome müssen linear unabhängig sein, sollen sie eine Basis bilden! Ermittle also zunächst in $\begin{eqnarray} r+s(1+x)+t(1+x+x^2)+u(1+x+x^2+x^3)=0 \end{eqnarray}$ r, s, t und u (ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich). mY+
04.11.2011, 07:17	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Vektoren: Polynome Also ich hab dann folgende Gleichungen aufgestellt: I. $\begin{eqnarray} r+s+t+u=0 \end{eqnarray}$ II. $\begin{eqnarray} sx+tx+ux=0 \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} s+t+u=0 \end{eqnarray}$ III. $\begin{eqnarray} tx^2+ux^2=0 \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} t+u=0 \end{eqnarray}$ IV. $\begin{eqnarray} ux^3=0 \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ U ist also = 0. In III. eingesetzt bedeutet das, dass auch t=0 ist Das wiederum in II. bedeutet, dass auch s = 0 ist. Und in I. eingesetzt zeigt sich, dass auch r = 0 ist. Das bedeutet doch, dass die Polynome linear unabhängig sind. Wie gehts nun weiter?
05.11.2011, 12:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so stimmt es, die 4 Polynome sind linear unabhängig. Sie bilden auch eine Basis des VR, wenn jedes beliebige Polynom 3. Grades aus ihnen erzeugt werden kann. Das ist der Fall, weil $\begin{eqnarray} r + s(1+x)+t(1+x+x^2)+u(1+x+x^2+x^3) = d + cx + bx^2 + ax^3 \end{eqnarray}$ eindeutig nach r, s, t, u gelöst werden kann (--> d-c, c-b, b-a, a), wobei nicht alle Parameter 0 sind. In obiger Gleichung sind r, s, t, u neue Parameter, also nicht jene, die bei der lin. Unabhängigkeit alle Null waren. Jetzt kannst du das an dem gegebenen Polynom ebenfalls nachvollziehen: In der Gleichung $\begin{eqnarray} r + s(1+x)+t(1+x+x^2)+u(1+x+x^2+x^3) = 2 - x + x^2 + 5x^3 \end{eqnarray}$ können die Parameter der Linearkombination der 4 Basisvektoren bestimmt werden, welche das gegebene Polynom ergeben. Das hast du ja eingangs schon gemacht. Es war also noch die lin. Unabhängigkeit der 4 Vektoren sicherzustellen. ________________________________________ Bemerkung: Die Definition der Basis beeinhaltet folgende Kriterien: Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B von V mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften: Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen (V ist Lineare Hülle von B) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus B entfernt wird. B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. Wird also ein weiteres Element aus V zu B hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. mY+

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