Ungleichung lösen ( unmöglich?)

03.11.2011, 11:33

LAG Mathe

Ungleichung lösen ( unmöglich?)

Folgendes Problem:

Ich finde keinen Weg um diese Ungleichung zu lösen (reell). Meiner Meinung nach ist die Lösung x<-2 und x>2, aber ich komme rechnerisch nicht drauf. Entweder kommt ne negative Wurzel (Zusammenfassen der Brücke auf einen Nenner und dann umformen bis zur Lösungsformel) oder die Ergebnisse stimmen nicht (Fallunterscheidungen für Zähler und Nenner größer / kleiner gleich Null). Natürlich ist von Beginn an x=2 oder x=-2 ausgeschlossen

Ungleichnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-x}+ \frac{5}{2+x} <1 \end{eqnarray*}$

Lösungsformel liefer:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac {4+-\sqrt{(-4)^2-4*8}}{2} \quad (neg. Wurzel) \end{eqnarray*}$

oder über Fallunterscheidung:

1. Fall: positiver Zähler / Nenner
Zähler
$\begin{eqnarray*} \quad \quad \quad \quad \end{eqnarray*}$ Nenner
$\begin{eqnarray*} -4x+12<1 \quad \quad -x^2+4<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>2,75 \quad \quad \quad \quad x>1,7 \end{eqnarray*}$

2. Fall: negativer Zähler / Nenner
Zähler
$\begin{eqnarray*} \quad \quad \quad \end{eqnarray*}$ Nenner
$\begin{eqnarray*} -4x+12>1 \quad \quad -x^2+4>1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<2,75 \quad \quad \quad x<1,7 \end{eqnarray*}$

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen kann wie ich vorgehen muss oder was ich falsch gemacht habe. Laut Internetrechner gibt es entweder ne Lösung wie oben gesagt oder sie konnten es auch nicht berechnen . ^^ DANKE !!!

03.11.2011, 11:37

René Gruber

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Zitat:

Original von LAG Mathe
1. Fall: positiver Zähler / Nenner

[...]

2. Fall: negativer Zähler / Nenner

Kannst du mal näher erläutern von welchen Zählern/Nenner du hier redest? Vom ersten oder zweiten Summanden, oder was sonst? Sehr undurchsichtig. unglücklich

---------------------------------

Um die Brüche wegzukriegen, multipliziert man ja die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} (2-x)(2+x)=4-x^2 \end{eqnarray*}$ . Normalerweise würde sich die Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen dieses Terms richten...

03.11.2011, 11:41

LAG Mathe

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aso sorry^^

hab die Brüche auf einen Hauptnenner gebracht...

$\begin{eqnarray*} \frac{2+x+5(2-x)}{(2-x)(2+x)}<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-4x+12}{-x^2+4}<1 \end{eqnarray*}$

und hab dann versucht zu unterscheiden nach Nenner+Zähler positiv oder halt beides negativ ... aber ohne Erfolg

03.11.2011, 11:47

René Gruber

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Zitat:

Original von LAG Mathe
und hab dann versucht zu unterscheiden nach Nenner+Zähler positiv oder halt beides negativ ...

Das ist sinnloses Gewurstel - wer hat dir denn den Weg beigebracht? unglücklich

Also wenn du nicht mit $\begin{eqnarray*} (4-x^2) \end{eqnarray*}$ multiplizieren willst (mit der dann nötigen Fallunterscheidung), dann bringe wenigstens die rechte 1 durch Subtraktion auf die linke Seite, d.h. dann

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-4x+8}{-x^2+4} < 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun hast du bereits festgestellt, dass die Zählerfunktion links keine reellen Nullstellen besitzt. Das bedeutet nichts anderes, dass der Zähler immer dasselbe Vorzeichen hat - welches? Augenzwinkern

03.11.2011, 11:52

LAG Mathe

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immer positiv.

also reicht ne Fallunterscheidung für den Nenner? quasi

$\begin{eqnarray*} -x^2+4<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4<x^2 \end{eqnarray*}$

und dann folgt ja x<-2 und x>2 oder?

zu dem Nenner multiplizieren.... das hab ich ja versucht. hab es zur Form $\begin{eqnarray*} -4x+12<-x^2+4 \end{eqnarray*}$ und dann zu $\begin{eqnarray*} x^2-4x+8<0 \end{eqnarray*}$ umgeformt.... nur wie gesagt bringt mich das ja auf ne negative Wurzel ...

03.11.2011, 12:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von LAG Mathe
immer positiv.

also reicht ne Fallunterscheidung für den Nenner? quasi

$\begin{eqnarray*} -x^2+4<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4<x^2 \end{eqnarray*}$

Du sagst positiv, schreibst dann aber $\begin{eqnarray*} -x^2+4<0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt brauchst du noch die linke Seite faktorisieren und dann bist du fast am Ziel.

03.11.2011, 12:05

René Gruber

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Zitat:

Original von LAG Mathe
und dann zu $\begin{eqnarray*} x^2-4x+8<0 \end{eqnarray*}$ umgeformt.... nur wie gesagt bringt mich das ja auf ne negative Wurzel ...

Du meinst "negativ unter der Wurzel" !!! Und das musst du richtig deuten: Keine Nullstellen bei der nach oben geöffneten Parabel $\begin{eqnarray*} x^2-4x+8 \end{eqnarray*}$ heißt, dass nur positive Werte auftreten, d.h. die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2-4x+8<0 \end{eqnarray*}$ hat keine reellen Lösungen.

Es reicht nicht, dass du weißt, wie man quadratischen Gleichungen löst: Du musst dir auch klarmachen, was das für die zugehörige quadratische Funktion bedeutet!

03.11.2011, 12:06

LAG Mathe

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na da der Zähler immer posiutiv wird, muss der Nenner Negativ werden um die Ungleichung zu erfüllen, also damit der Bruch <0 wird.

also ist doch nur noch der Nenner zu betrachten.

also:
$\begin{eqnarray*} <br /> -x^2+4<0<br /> 4<x^2<br /> --> x_1>2 und x_2 <-2<br /> \end{eqnarray*}$

oder was meintest du damit?
Danke schon mmal für die Hilfe!!!

03.11.2011, 13:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von LAG Mathe
$\begin{eqnarray*} --> x_1>2 ~ und ~ x_2 <-2 \end{eqnarray*}$

Formal richtig heißt es: $\begin{eqnarray*} --> x_1>2 ~ oder ~ x_2 <-2 \end{eqnarray*}$

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