Monotonie von Abbildungen

03.11.2011, 12:56

Kretos

Monotonie von Abbildungen

Hi Leute

Ich habe drei Abbildungen, deren Monotonie und Beschränktheit zu untersuchen sind:

a) $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , f(x) = \frac{x}{1+|x|} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , g(x) = \frac{1+x^{2}}{2+x^{2}} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , h(x) = \sum_{k=0}^{n} x^{2k}|x^{2}+1|^{n-k} , n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

So, ausser bei der c) ist die Beschränktheit klar, wie ich das mache. Dazu komme ich vll. später noch zur Kontrolle ob ich es richtig mache smile

!
Aber wie zeige ich die Monotonie?
Über die Grundbedingung der Monotonie komme ich ja nur von z.B. $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{R}: x>y \rightarrow f(x)>f(y) \end{eqnarray*}$ (die a) ist monoton steigend, passt also mit dieser Bedingung) dahin, dass ich f(x) hinschreibe, y einsetze und sage unter der Bed. dass x>y folgt auch f(x)>f(y) (nach dem Motto "Sieht man doch").

Leider ist dieser Weg nicht zufriedenstellend..
Wie kann ich das mathematisch korrekt machen ohne es durch logische Schlussfolgerung und scharfes Hingucken "zu sehen"?

03.11.2011, 19:53

Fa Tih

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RE: Monotonie von Abbildungen
Hi Kretos,

meinst du nicht es ist genügend den Beweis durch die Definition zu machen:

Also ich mach es mal für a)

Annahme: f ist streng monoton wachsend.
[Bew: Seien x,y in IR mit x<y, dann muss f(x)<f(y) gelten:
f(x)<f(y)
<=> f(x)-f(y)<0
$\begin{eqnarray*} = \frac{x}{1+|x|} - \frac{y}{1+|y|} < 0<br /> = \frac{x*(1+|y|) - y*(1+|x|)}{(1+|x|)(1+|y|)} < 0<br /> = \frac{x-y + x|y|-y|x|}{|x|*|y|+|x|+|y|+1} < 0<br /> \end{eqnarray*}$

Nun ist offensichtlich, dass der Zähler stets kleiner 0 ist, da x<y und x|y|-y|x|=0. Der Nenner hingege ist immer größer als 0 (streng genommen immer größer als 1).
Somit ist der komplette Bruch immer kleiner als 0.
D.h., dass die Funktion streng monoton wachsend ist.

04.11.2011, 01:58

Kretos

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Korrekt, danke!
So hab ich gar nicht gedacht. Damit habe ich alle hingekriegt.
Nun eine Frage zur Konvergenz von Folgen. Finde hier im Forum leider immer nur Reihen, geht aber explizit um Folgen und ggf. deren Grenzwert.
Mache mal kein neues Thema auf, es sei denn es wird so gewünscht..

Also die Aufgabe:
a) $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{\sum_{k=1}^n{k}}{n+2}-\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} c_n = (-1)^{n}(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

Also mir ist klar (denke ich) a_n geht gegen 0, b_n gegen -1, und c_n alterniert, konvergiert also nich?
Mache Ana1 zum 2. mal, kenne aber nur noch Konvergenzkriterien von Reihen.. Aber hier sinds ja Folgen?
Weiß also nicht wie ich den Kram zeigen soll..

Hinweis: Sie dürfen verwenden: Für jede konvergente reelle Folge $\begin{eqnarray*} (x_{k})_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert x gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt{x_n} = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung wie ich das nutzen soll?

Wie gesagt, eigenes Thema? Oder Antworten hier ^^?
Grüße

04.11.2011, 04:02

juffo-wup

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Tipps:
zu a): Benutze 3. binomische Formel.
zu b): Benutze eine sehr bekannte Formel für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k \end{eqnarray*}$
zu c): Wogegen das was in der Klammer steht konvergiert, dürfte ja klar sein. Unterscheide Folgenglieder mit n gerade bzw. ungerade und wende Def. von Konvergenz an, um Divergenz zu zeigen.

Allgemein: mit Def. von Konvergenz und den einfachen Rechenregeln für Konvergenz (Summe, Produkt etc. konvergenter Folgen ist konvergent und hat entsprechenden Grenzwert) kommt man hier aus.

04.11.2011, 11:09

Kretos

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Alles klar, da hätte ich auch mal drauf kommen können.

Also in der b) nutze ich, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ und komme dann insgesamt nach Umformungen zum Grenzwert -1/2.
In der c) konvergiert die Klammer gegen 1, dann nehme ich mir 2 Teilfolgen und sage, das c_n divergiert, da die beiden Teilfolgen unterschiedliche Grenzwerte haben.

Aber in der a)? Das 3. Binom würde doch bedeuten ich multipliziere die Klammer nochmal mit + dran und erhalte dann = 1. Aber wie passt das mit den Limitenregeln? Ich kann doch nicht einfach irgendwas dranmultiplizieren? Und die Prodkutregel von Limites zB handelt ja auch von konvergenten Folgen, ich weiß aber noch nix über die dranmultiplizierte?
Kannst du mir bei der a) noch einen zusätzlichen Stoß verpassen smile

04.11.2011, 17:16

Fa Tih

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Hi Kretos,

vielleicht hilft dir das hier etwas:

$\begin{eqnarray*} a:=\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b:=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} a-b = \frac{(a+b)(a-b)}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du die Werte glaube ich wieder für a und b einstzen und somit die Grenzwerte bestimmen.
Ich hoffe meine Idee ist richtig, diese sollte von einem anderen nochmal bestätigt werde zur sicherheit smile

04.11.2011, 17:24

juffo-wup

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Zitat:

Original von Kretos
Also in der b) nutze ich, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ und komme dann insgesamt nach Umformungen zum Grenzwert -1/2.
In der c) konvergiert die Klammer gegen 1, dann nehme ich mir 2 Teilfolgen und sage, das c_n divergiert, da die beiden Teilfolgen unterschiedliche Grenzwerte haben.

Richtig.

Zu a): Was ich meinte, ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten und zu verwenden, dass die rechte Klammer gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht. Siehe auch das, was Fa Tih gepostet hat (er/sie hat sich allerdings vertippt beim Zähler des Bruches).

06.11.2011, 14:23

Kretos

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Alles klar, jetzt hab ich es smile

Im Endeffekt laufen ja eure beiden Tipps darauf hinaus, dass das ganze dann gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ geht und somit also gegen 0.

Korrekt, jetzt hab ich es smile

!

Und danke für eure Hilfe!

06.11.2011, 16:04

hase23

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hallo,
wie forme ich bei der teilaufgabe b) n(n+1)/2 um, um auf den grenzwert 1/2 zu kommen?

06.11.2011, 21:29

Fa Tih

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ganz einfach:

(n(n+1)/2) - (n/2) = (n^2+n)/(2n+4) - (n^2+2n)/(2n+4)
= -n / 2n+4

nun kannst du hier n kürzen und dann erhälts du -1/(2+(4/n))

KRETOS? hast du die Aufgabe 4 auch gelöst?^^

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