Induktion Ungleichung

03.11.2011, 13:08

Jürgen von der Nudel

Induktion Ungleichung

Meine Frage:
Hallo,

ich brauche hilfe für den Induktionsbeweis für eine Ungleichung. Ich tue mich irgendwie bei ungleichungen ungemein schwer.

[attach]21756[/attach]

Meine Ideen:
Zu erst einmal zeige ich ja, dass es für die kleinst mögliche Zahl stimmt. Also für die 3. So weit, so klar, ist ja offensichtlich das 8 > 7.

Dann versuche ich es für n+1 zu beweisen.

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > 2*(n+1)+1 = 2^{n} * 2 > 2n+3 \end{eqnarray*}$

Muss ich so Anfangen? Ich steh echt 100% auf der Leitung und hab kp was ich jetzt genau machen soll?

03.11.2011, 13:20

klarsoweit

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RE: Induktion Ungleichung
Formal gehört da ein Äquivalenzzeichen dazwischen.

Dann würde ich mit der linken Seite der behauptung, also mit $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ anfangen und diese solange umformen, bis $\begin{eqnarray*} 2n+3 \end{eqnarray*}$ rauskommt. Beachte dabei, daß du $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ kleiner machen darfst. Nutze dazu auch die Induktionsvoraussetzung.

03.11.2011, 19:38

Jürgen von der Nudel

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RE: Induktion Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Formal gehört da ein Äquivalenzzeichen dazwischen.

Dann würde ich mit der linken Seite der behauptung, also mit $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ anfangen und diese solange umformen, bis $\begin{eqnarray*} 2n+3 \end{eqnarray*}$ rauskommt. Beachte dabei, daß du $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ kleiner machen darfst. Nutze dazu auch die Induktionsvoraussetzung.

genau das ist mein Problem. Ich versteh nicht wie ich das bei einer Ungleichung "Kleiner" machen darf? Bei einer normalen gleichung versteh ich wie ich das mit der Induktionsverraussetzung ersetzen kann. Aber bei einer Ungleichung? ich kann doch keine Ungleichen Therme einsetzen?

Könntest du mir vllt anhand der ersten ungleichung zeigen wie das funktioniert? Also das einsetzen bzw umformen durch die induktionsvorraussetzung

04.11.2011, 09:21

klarsoweit

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RE: Induktion Ungleichung

Zitat:

Original von Jürgen von der Nudel
Ich versteh nicht wie ich das bei einer Ungleichung "Kleiner" machen darf?

Du darfst jeden beliebigen Term (nicht Therm) kleiner machen. Wo ist da das Problem? Du darfst da nur kein Gleichheitszeichen dazwischen schreiben. Beispiel: wir machen die 6 kleiner beispielsweise zu 5. Dann haben wir:
6 > 5
Nun machen wir noch die 5 kleiner meinetwegen zu 4. Damit haben wir die Ungleichungskette:
6 > 5 > 4

Jetzt zu deinem Induktionsbeweis: Du nimmst die $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ und formst die äquivalent um oder machst die kleiner, bis eben 2n+3 rauskommt. Also beispielsweise so:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Laut Induktionsvoraussetzung wissen wir, daß 2^n > 2n+1 ist. Wenn du also oben das 2^n durch 2n+1 ersetzt, dann wird das ganze also kleiner. Welche Ungleichung entsteht also dadurch?

04.11.2011, 15:56

Jürgen von der Nudel

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RE: Induktion Ungleichung
Ach jetzt versteh ich glaub ich langsam wie das gemeint ist. Ich stelle mich schon sehr blöd an merke ich gerade.

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2*(2n+1)=4n+2>2n+3, da n>=3 \end{eqnarray*}$

oder wie?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

04.11.2011, 16:53

klarsoweit

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RE: Induktion Ungleichung
Richtig.

Und Komplettzitate sind nicht erforderlich. Man sieht ja noch, was drüber steht.

04.11.2011, 17:43

Jürgen von der Nudel

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RE: Induktion Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig.

Und Komplettzitate sind nicht erforderlich. Man sieht ja noch, was drüber steht.

Das ist ja total einfach. Ich hab mich da irgendwie selbst verwirrt. Irgendwie hab ich da etwas viel schwereres erwartet und ka. Jetzt versteh ich es auf jeden Fall.

Vielen Dank.

Wenn ich das jetzt bei der zweiten mache:

$\begin{eqnarray*} 2^n >= n^2 2^{n+1} = 2^n * 2 >= 2*n^2 >= n^2 +2n + 1, da n>= 4 \end{eqnarray*}$

04.11.2011, 19:54

Riddler0254

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Nein, dass stimmst so nicht. unglücklich

Denk nochmal genau darüber nach.

Außerdem musst du auch beweisen, dass der Term wirklich kleiner ist. Du kannst nicht einfach immer schreiben, dass er kleiner ist. Man kein nicht einfach alles, ohne drüber nachzudenken hinschreiben.
Sonst wären Iduktionen ja das einfachste der Welt. Big Laugh

Schau dir deine Ungleichungskette nochmal genau an, dann wirst du den Fehler auch entdecken.

04.11.2011, 20:15

Jürgen von der Nudel

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Muss ich am ende auf beiden Seiten -n^2?

so dass dort

n^2 >= 2n+1?

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