top. Raume homöomorph

03.11.2011, 13:08

Simooon

top. Raume homöomorph

Es geht um den folgenden Raum

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2:=\mathbb{R}^2/\sim \end{eqnarray*}$
wobei für $\begin{eqnarray*} u,v\in\mathbb{R}^2 gilt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u\sim v:\Leftrightarrow \exists w\in\mathbb{Z}^2:v=u+w \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen, dass der Torus, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^{1}\times S^{1} \end{eqnarray*}$ homöomorph sind.
Dazu gibt es bestimmt viele direkte Lösungen im Netz, aber ich will es selbst hinbekommen.
Ich habe nur an einer Stelle ein Problem. Also

Wenn man den Satz benutzt, dass zwei top. Räume X,Y homöomorph sind, wenn gilt:
X kompakt, Y Hausdorffsch und f:X->Y stetig bijektiv.

Ich habe stetige bijektive Abb. $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\to S^{1} \times S^{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\to T \end{eqnarray*}$

Nur ich habe jetzt Probleme mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ .
Hierfür müsste ich zeigen, dass dieser Raum kompakt ist.
Aber der Raum ist ja quasi $\begin{eqnarray*} [0,1)^2 \end{eqnarray*}$ , das wäre nicht kompakt.
Und da drehe ich mir irgendwie im Kreis.

Kann ich in dieser Richtung irgendwie weitermachen? Ein Gedankenanstoß, wäre echt hilfreich

03.11.2011, 16:33

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Nur ich habe jetzt Probleme mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ .
Hierfür müsste ich zeigen, dass dieser Raum kompakt ist.

Um dies zu zeigen, kannst du zeigen, dass der Raum das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist (diese Abbildung muss nur surjektiv sein, nicht auch injektiv).

Ich denke, da sollte sich doch eine Menge und eine Abbildung finden lassen? Augenzwinkern

Grüsse

03.11.2011, 19:51

Simooon

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Oha, das hatte ich jetzt gar nicht auf dem Schirm.
Und da kann ich dann z.b. einfach das abgeschlossene Einheitsintervall nehmen?

Also die Argumentation ist, dann wie folgt
Da stetige Abbildungen kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbilden.

Betrachte $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=(x,x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)=(1,1) \end{eqnarray*}$
Diese Abbildung ist eindeutig surjekiv und da $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ kompakt ist, ist auch $\begin{eqnarray*} f([0,1])=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ kompakt.

Geht das echt so einfach, oder habe ich es mir da jetzt zu leicht gemacht?
Danke in jedem Fall erstmal.

Gruß,
Simon

03.11.2011, 20:16

gonnabphd

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Zitat:

Betrachte $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=(x,x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)=(1,1) \end{eqnarray*}$ Diese Abbildung ist eindeutig surjekiv

Hm, in Ausdrücken wie eindeutig, offensichtlich, trivialerweise stecken häufig genau die Fehler drin. Nur schon deshalb sollte man sie vermeiden.

03.11.2011, 20:22

Simooon

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euh, ja das war ja mal nichts ...

$\begin{eqnarray*} f:[0,1]^2\to\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0,0)=(1,1) \end{eqnarray*}$

So sollte es dann passen

03.11.2011, 21:10

gonnabphd

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Ich verstehe zwar nicht genau, weshalb du f in (0,0) speziell definierst, es gilt doch eh $\begin{eqnarray*} (1,1) \equiv (0,0) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 / \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ (wenn man deine Definition so versteht, dass auf die Äquivalenzklasse abgebildet wird)? Abgesehen davon hätte ich mir das aber auch so gedacht, ja.

03.11.2011, 21:37

Simooon

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Hab mir eigentlich gedacht, das ja $\begin{eqnarray*} [(1,1)]=(0,0) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2/ \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ eigentlich $\begin{eqnarray*} [0,1)^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Hast aber recht, hab da "zu viel" bzw. was unnötiges gemacht, da ich das ja dann auch für alle Paare (1,x) und (x,1) machen müssen.

Egal, danke in jedem Fall für den Hinweis, das werde ich so schnell nicht mehr vergessen Gott

Jetzt kann mich Kompaktheit nicht mehr ausm Tritt bringen... zumindest in so einfache Fällen

03.11.2011, 22:33

gonnabphd

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Zitat:

Egal, danke in jedem Fall für den Hinweis, das werde ich so schnell nicht mehr vergessen Gott

Bitte, gerne!

Wink

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