Ordnungsrelationen

03.11.2011, 13:13

Vick_2

Ordnungsrelationen

Meine Frage:
Ist die folgende Relation auf R, aRb <=> a^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b^4 eine Ordnugsrelation?

Meine Ideen:
Meine Idee ich überprüfer ob die Relation transitiv, symmetrisch und reflexif ist:
1) transitiv: da da das kleiner GLEICH zeichen gilt kann ich sagen a^4=b^4 b^4=c^4 => a^4=c^4 also ist die relation transitiv

2) symmetrisch: a^4=b^4 => b^4=a^4 stimmt

3) reflexif: da beide Zahlen anscheinend gleich groß sind kann ich sagen a^4=a^4

Meine Frage reicht das als beweis ob es eine Ordnugsrelation ist und stimmt der Ansatz überhaupt????

03.11.2011, 13:23

Mazze

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Zitat:

Meine Idee ich überprüfer ob die Relation transitiv, symmetrisch und reflexif ist:

Das wären die Bedingungen für eine Äquivalenzrelation, Du sollst doch aber zeigen, ob wir eine Ordnungsrelation haben.

Zitat:

2) symmetrisch: a^4=b^4 => b^4=a^4 stimmt

Was ist aber wenn $\begin{eqnarray*} a^4 < b^4 \end{eqnarray*}$ ist ?

p.s.: Deine Interpretation vom kleinergleich Zeichen ist recht wage. Daher hier nochmal was es aussagt:

$\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$

heißt, a ist kleiner als b oder a ist gleich b

Etwa sind die Aussagen

$\begin{eqnarray*} 1 \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\leq 3 \end{eqnarray*}$

alle Wahr.

03.11.2011, 13:32

Vick_2

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Achso also die Eigenschaften einer Ordnugsrelation sind: transitiv, reflexif und asymetrisch
d.h. punkt 1) und 3) stimmen soweit und bei Punk2) a^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b^4
aber nicht umgekehrt

demnach ist es eine Ordnungsrelation
stimmt es jetzt? und muss ich nichts anderes machen reicht das als beweis?

03.11.2011, 13:34

Mazze

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Zitat:

reicht das als beweis?

Die Reflexivität würde ich so noch durchgehen lassen. Die anderen Punkte hast Du nicht gezeigt.

Zitat:

da da das kleiner GLEICH zeichen gilt kann ich sagen a^4=b^4 b^4=c^4 => a^4=c^4

Du vernachlässigst wieder völlig den Fall dass a echt kleiner als b sein könnte, und b echt kleiner als c.

03.11.2011, 13:38

Vick_2

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Ok => a^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b^4 b^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c^4
=> a^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c^4

03.11.2011, 13:39

Mazze

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Zitat:

Ok => a^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b^4 b^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c^4 => a^4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c^4

Das ist zu beweisen.

03.11.2011, 13:45

Vick_2

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Kann ich da einfach sagen a=1 b=2 und c=3 beispielsweise oder gilt das nicht als beweis (1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3 => 1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3)

Ansonsten wüsste ich jetzt nicht wie ich das beweisen soll

03.11.2011, 13:52

Mazze

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Zitat:

Kann ich da einfach sagen a=1 b=2 und c=3 beispielsweise

Naja, das würde der folgenden Argumentation gleichen :

Aussage : Alle Vögel können fliegen.

Dann zeige ich Dir einen fliegenden Vogel (ich wähle a = 1 , b = 2 und c = 3) und habe dir die Aussage damit bewiesen. Wäre das korrekt ? Nein, ich müsste Dir schon beweisen das jeder Vogel fliegen kann. Mann kann eine eine mathematische Aussage niemals mittels eines Beispieles beweisen. Man kann mathematischen Aussagen mit Beispielen widerlegen. Im Falle der Vögel würde ich Dir einen Pinguin zeigen, und hätte so die Aussage widerlegt, dass alle Vögel fliegen können.

Was den Beweis angeht :

Was wollen wir zeigen :

Transitivität.

Was müssen wir dafür zeigen :

Wenn $\begin{eqnarray*} aRb \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} bRc \end{eqnarray*}$ gilt, dann soll auch $\begin{eqnarray*} aRc \end{eqnarray*}$ gelten.

Beweis :

Sei also $\begin{eqnarray*} aRb \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} bRc \end{eqnarray*}$ , nach Definition ist dann also

$\begin{eqnarray*} a^4 \leq b^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^4 \leq c^4 \end{eqnarray*}$ . Jetzt gibt es vier Fälle :

Fall 1 : a^4 = b^4 und b^4 = c^4
Fall 2 : a^4 < b^4 und b^4 = c^4
Fall 3 : a^4 = b^4 und b^4 < c^4
Fall 4 : a^4 < b^4 und b^4 < c^4

Wenn Du für alle vier Fälle die Transitivität nachweißt, ist diese insgesamt bewiesen.

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