Stammfunktion zu (t+lnx)/x mit Substitution

03.11.2011, 13:13

Maximan

Stammfunktion zu (t+lnx)/x mit Substitution

Hallo,
ich versuche gerade zu $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{t+ln(x)}{x} \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion mithilfe der Substitution zu finden. Leider komm ich nicht auf die richtige Lösung. Könnte mir jemand meinen Fehler erklären?

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{t+ln(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Substitution:
$\begin{eqnarray*} u=t+ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du=\frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*du=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_a^b \! u \, du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\left[0,5*u^2\right] \end{eqnarray*}$
Resubstitution: $\begin{eqnarray*} =\left[0,5*(t+ln(x))^2\right] \end{eqnarray*}$

Ich hab auch noch einen zweiten Lösungsvorschlag:
Substitution:
$\begin{eqnarray*} u=t+ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u-t=ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{u-t}=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{u-t}du=dx \end{eqnarray*}$
Allerdings kommt man mit dieser Substitution auf die selbe Lösung.

LG Maximan

03.11.2011, 13:27

Mulder

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RE: Stammfunktion zu (t+lnx)/x mit Substitution
Abgesehen von der fehlenden Integrationskonstante ist das doch okay. Warum hälst du es für falsch? verwirrt

03.11.2011, 13:44

Maximan

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Die richtige Lösung sollte lauten:
$\begin{eqnarray*} ln(x)*(t-ln(x))-\frac{1}{2}*(ln(x))^2 \end{eqnarray*}$
Wenn ich da x=t=1 einsetzt, ist das Erbgebnis 0
Setze ich x=t=1 in meine Lösung ein, ist das Ergebnis 0,5
Die beiden Lösungen sagen also nicht das gleiche aus. Somit sollte meine Lösung falsch sein.

03.11.2011, 13:47

Mulder

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Zitat:

Original von Maximan
Die richtige Lösung sollte lauten:
$\begin{eqnarray*} ln(x)*(t-ln(x))-\frac{1}{2}*(ln(x))^2 \end{eqnarray*}$

Wo kommt der Blödsinn denn her? verwirrt

Dein Ergebnis stimmt. Leite es doch zur Kontrolle mal wieder ab. Da kann man ja nicht viel falsch machen.

03.11.2011, 14:21

Maximan

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Ich hab's auch mit partieller Integration versucht.
$\begin{eqnarray*} u'=x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=t+ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! u'v \, dx =uv-\int_a^b \! uv' \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x^{-1}*(t+ln(x)) \, dx=ln(x)*(t+ln(x))- \int_a^b \! ln(x)/x \, dx \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! ln(x)/x \, dx \end{eqnarray*}$ noch mal ne partielle Integration (Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 0,5*(ln(x))^2 \end{eqnarray*}$ )

Somit ist die Stammfunktion : $\begin{eqnarray*} ln(x)*(t-ln(x))-\frac{1}{2}*(ln(x))^2 \end{eqnarray*}$

03.11.2011, 14:32

Mulder

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Zitat:

Original von Maximan
Somit ist die Stammfunktion : $\begin{eqnarray*} ln(x)*(t\color{red} - \color{black}ln(x))-\frac{1}{2}*(ln(x))^2 \end{eqnarray*}$

Das Minus ist falsch. Setz da ein Plus hin, dann passt es auch. In deiner Rechnung steht auch ein Plus, warum ersetzt du es auf einmal durch ein Minus?

Und dann stimmen beide Ergebnisse auch überein. Bedenke, dass Stammfunktionen ja nur bis auf konstante Summanden eindeutig sind.

04.11.2011, 21:15

Maximan

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Autsch

...dummer Schusselfehler.
Vielen Dank für deine Bemühungen!

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