Reihe konvergiert, Beweis, dass sie jedoch nicht absolut konvergiert

03.11.2011, 16:01	MatheNoob1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe konvergiert, Beweis, dass sie jedoch nicht absolut konvergiert Meine Frage: Gegeben sei die Folge: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+n+1}}<br /> \end{eqnarray}$ Gefragt: Konvergenz und absolute Konvergenz Meine Ideen: Also... Die Konvergenz lässt sich leicht mit dem Leibnitz-Kriterium zeigen, also, dass es eine Nullfolge ist, die monoton fallend ist. Jedoch scheitere ich am Beweis für die absolute Konvergenz/bzw. Divergenz. Vlt kann mir ja jemand von euch den notwendigen Ratschlag geben!!! Vielen Dank für eure Bemühungen!!!
03.11.2011, 16:07	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergiert, Beweis, dass sie jedoch nicht absolut konvergiert Was passiert denn mit dem Zähler, wenn du den Betrag hernimmst? Vereinfacht er sich? Schätze dann geeignet ab.
03.11.2011, 17:45	MatheNoob1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergiert, Beweis, dass sie jedoch nicht absolut konvergiert Ok, ja, dann ergibt das $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}} <br /> \end{eqnarray}$ Ich nehme an, dass diese Reihe divergiert --> ich muss eine Minorante finden, die divergiert und bei der jedes Folgeglied kleiner als das Folgeglied der gegeben Reihe ist. z.B.: die Reihe: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n} <br /> \end{eqnarray}$ Hab ich das richtig verstanden? Jetzt soll ich zeigen, dss für jedes n Element aus \|N gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}<br /> \end{eqnarray}$ aber dass ist es ja nicht, oder?
03.11.2011, 18:36	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergiert, Beweis, dass sie jedoch nicht absolut konvergiert Die Ungleichung stimmt so nicht, nein. Sei ruhig brutaler, zum Beispiel indem du mit einem konstanten Vorfaktor multiplizierst. Edit: Um mal etwas systematischer vorgehen zu können: Für $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ ist doch beispielsweise $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}} \geq \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2+n^2}}= \, ... \end{eqnarray}$ PS: Achte auf Indizes. Die Reihe über 1/n ist für n=0 als Startindex logischerweise nicht definiert.
03.11.2011, 19:17	MatheNoob1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergiert, Beweis, dass sie jedoch nicht absolut konvergiert Vielen Dank!!! Es hat gerade KLICK gemacht!!! Wie man nur so aufm Schlauch stehn kann...

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