Beweis sigma Algebra

03.11.2011, 18:16	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis sigma Algebra Hallo ich bräuchte bei einem Beweis etwas Hilfe: Ich will zeigen, dass wenn: $\begin{eqnarray} f:\Omega \to Y \end{eqnarray}$ beliebig, $\begin{eqnarray} J := \{B \subset Y: f^{-1} (B) \in \varsigma \} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Algebra auf Y ist. Die drei Bedingungen für $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Algebra kenne ich: Es sei $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eine Menge. Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} \varsigma \end{eqnarray}$ der Potenzmenge $\begin{eqnarray} Pot(\Omega) \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Algebra über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , falls (G1) $\begin{eqnarray} \emptyset \in \varsigma \end{eqnarray}$ (G2) $\begin{eqnarray} A \in \varsigma \Rightarrow A^C \in \varsigma \end{eqnarray}$ (G3) Ist $\begin{eqnarray} \mathcal A \subset \varsigma \end{eqnarray}$ abzählbar, so ist $\begin{eqnarray} \bigcup_{A \in\mathcal A} A \subset \varsigma \end{eqnarray}$ Mir fällt es schwer dieses auf die gegebene Menge anzuwenden. Kann mir da jemand einen Tipp geben und mir etwas auf die Sprünge helfen? Wäre echt super. Danke.
05.11.2011, 15:18	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis sigma Algebra In diesem Fall müssten die Bedingungen für sigma Algebren ja so lauten: (G1) $\begin{eqnarray} \emptyset \in J \end{eqnarray}$ (G2) $\begin{eqnarray} A \in J \Rightarrow A^C \in J \end{eqnarray}$ (G3) Ist $\begin{eqnarray} \mathcal A \subset J \end{eqnarray}$ abzählbar, so ist $\begin{eqnarray} \bigcup_{A \in\mathcal A} A \subset J \end{eqnarray}$ Ich habe mich jetzt mal an der G1 probiert: Ich müsste ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} (\emptyset )\in \varsigma \end{eqnarray}$ ist. Ich weiß aus einer vorangegangenen Bemerkung, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} (V)\in \varsigma \end{eqnarray}$ für alle offenen Mengen $\begin{eqnarray} V\subset Y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \emptyset \end{eqnarray}$ ist auch eine offenen Menge und $\begin{eqnarray} \emptyset \subset Y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f^{-1} (\emptyset )\in \varsigma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \emptyset \in J \end{eqnarray}$ Kann man das so machen? Zur G2 bin ich soweit: Ist es richtig, dass is da folgendes zeigen müsste?: Wenn $\begin{eqnarray} A \in J \Rightarrow A \subset Y: f^{-1}(A) \in \varsigma \end{eqnarray}$ , so ist auch $\begin{eqnarray} A^C \subset Y: f^{-1}(A^C) \in \varsigma \end{eqnarray}$ Aber da komme ich auch irgendwie nicht weiter wie ich das zeigen könnte. Kann mir da jemand einen Tipp geben? Wäre echt super.
07.11.2011, 16:27	fronzenlaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar genauere Angaben wären hilfreich. Sind $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und Y beliebige Mengen? Wie sieht die Menge $\begin{eqnarray} \varsigma \end{eqnarray}$ weiter hinten in der Definition aus? Ist die als Sigmaalgebra über Omega vorausgesetzt?
07.11.2011, 16:45	fronzenlaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls $\begin{eqnarray} \varsigma \end{eqnarray}$ selbst eine Sigmaalgebra über Omega ist, dann ist das ganze recht einfach: G1: $\begin{eqnarray} \varsigma \quad \sigma -Algebra \Rightarrow \emptyset \in \varsigma \Rightarrow f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \varsigma \Rightarrow \emptyset \in J \end{eqnarray}$ Die anderen Eigenschaften ziehen sich genauso durch das Urbild durch. Mit dem Urbild kann man eigentlich so ziemlich alles machen.
07.11.2011, 19:49	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis sigma Algebra Vielen Dank für die Antwort. $\begin{eqnarray} ( \Omega , \varsigma ) \end{eqnarray}$ ist ein Messraum, d.h. ja $\begin{eqnarray} \varsigma \end{eqnarray}$ ist eine sigma Algebra über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Y,d_y) \end{eqnarray}$ ist ein metrischer Raum. Ich vermute das gilt hier, da dies im Skript in der vorangegangen Definition steht. Tut mir Leid hatte ich vergessen dazu zu schreiben. Ok. die G1 habe ich verstanden. Danke. Für die G2 müsste ich ja folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} A \in J \Rightarrow A^C \in J \end{eqnarray}$ Kann ich das hier so folgern? Kommt mir so leicht vor und irgendwie reicht mir auch die Begründung nicht. Oder bin ich da ganz falsch ran gegangen?
07.11.2011, 20:57	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir dazu vielleicht mal die "Gesetze" für Urbilder an: Wikipedia
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10.11.2011, 08:23	fronzenlaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Für G2 musst du das zeigen was du da schreibst. Du musst dafür allerdings mit dem Urbild über $\begin{eqnarray} \varsigma \end{eqnarray}$ gehen. Hier weißt du dann, dass das Komplement wieder drinnen liegt, und dann musst du via f zurück nach Y marschieren. Für genauere Details ist der Tip von Shortstop ganz gut.

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